Richardの小小杂货铺 - 线性代数
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items: [线性代数] 二次型
items: [线性代数] 特征值和特征向量
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[线性代数] 二次型
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date: 2024-09-19T17:20:08+00:00
description: 基本概念二次型含 $n$ 个变量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 且每项都是 2 次的齐次多项式$$ f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \cdots + a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{22}x_2x_3 + \cdots + 2a_{n-1}x_{n-1, n}x_n $$称为二次型。若令 $a_{ij} = a_{ji} (i, j = 1, 2, \cdots, n)$ ，则二次型的矩阵形式为$$ f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = X^TAX $$其中 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ], X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$ 。标准二次型只含有平方项不含交叉项的二次型称为标准二次型。相对的，同时含有平方项和交叉项的二次型称为非标准二次型。二次型 $X^TAX$ 为标准二次型的充分必要条件是 $A$​ 为对角矩阵。二次型 $X^TAX$ 为非标准二次型的充分必要条件是 $A^T = A$ 但 $A$ 为非对角矩阵。规范二次型系数为 1 和 -1 的标准型，称为二次型的规范形。二次型的规范形是唯一的。二次型的标准化设 $f(X) = X^TAX$ 为一个二次型，经过可逆的线性变换 $X = PY$ (即 $P$ 为可逆矩阵) 把二次型 $f(X) = X^TAX$ 化为$$ f(X) = X^TAX \xlongequal{X = PY} Y^T(P^TAP)Y = l_1y_1^2 + l_2y_2^2 + \cdots + l_ny_n^2 $$称为二次型的标准化。二次型 $X^TAX$ 的标准化的过程即实对称矩阵 $A$ 对角化的过程，二次型标准化过程必须遵循两点原则：线性变换 $X = PY$ 中的矩阵 $P$ 一定为可逆矩阵。$P^TAP$​ 为对角矩阵。矩阵合同设 $A, B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^TAP = B$ ，称矩阵 $A$ 与 $B$ 合同，记为 $A \simeq B$ 。经过可逆线性变换的二次型的矩阵与原矩阵之间合同。矩阵合同具有反身性 ($A \simeq A$) ，对称性 ($A \simeq B \Rightarrow B \simeq A$) ，传递性 ($A \simeq B, B \simeq C \Rightarrow A \simeq C$) 。判别法： 设 $A, B$ 为实对称矩阵，则 $A \simeq B$ 的充分必要条件是 $A, B$ 的特征值中正，负及零的个数相同。基本定理标准型定理：任何二次型 $f(X) = X^TAX$ 总可以通过可逆的线性变换 $X = PY$ (其中 $P$ 为可逆矩阵) 化为标准型，即$$ f(X) = X^TAX \xlongequal{X = PY} Y^T(P^TAP)Y = l_1y_1^2 + l_2y_2^2 + \cdots + l_ny_n^2 $$惯性定理：二次型的标准型的系数中正，负系数的个数保持不变，分别称为二次型的正，负惯性指数。矩阵合同定理：设 $A, B$ 为实对称矩阵，则 $A \simeq B$ 的充分必要条件是 $A, B$ 的特征值中正，负及零的个数相同。Note： 实对称矩阵 $A, B$ 相似，则一定合同，但合同不一定相似。若 $A \sim B$ ，则 $A, B$ 特征值相同，从而有相同的正负惯性指数，所以 $A \simeq B$ 。(实对称矩阵相似的充分必要条件是特征值相同)若 $A \simeq B$ ，则 $A, B$ 只是正负惯性指数相同，但无法推出 $A, B$ 的特征值相同。二次型标准化方法配方法通过配方的方法把二次型化为若干部分的平方和与差，然后进行变换。例题：设 $f(x_1, x_2) = 5x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2$ ，用配方法将其化为标准型。解：令 $X^TAX = f(x_1, x_2)$ ，则有 $A = \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix}…

[线性代数] 特征值和特征向量
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date: 2024-09-19T06:33:00+00:00
description: 基本概念二次型在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，且每一项次数都是 2 的多项式，称为二次型。二次型分为两种类型：非标准二次型及标准二次型。标准二次型：每一项都只有单个未知数的二次型。例题：设 $f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + x_2^2 - 3x_3^2$ 为标准二次型，将其矩阵化。解：令 $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}, \ X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$ ，则 $f(x_1, x_2, x_3) = X^TAX$ 。非标准二次型：存在含有不同未知数项的二次型。例题：设 $f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 - x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_2 - 4 x_2x_3$ 为非标准二次型，将其矩阵化。解：令 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & 3 \end{bmatrix}, \ X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$ ，则 $f(x_1, x_2, x_3) = X^TAX$ 。Notes：二次型 $X^TAX$ 为非标准二次型的充分必要条件是 $A^T = A$ 但 $A$ 为非对角矩阵。二次型 $X^TAX$ 为标准二次型的充分必要条件是 $A$ 为对角矩阵。将非标准二次型 $X^TAX$ 化为标准二次型等价于将矩阵 $A$ 对角化。特征值与特征向量的理论即矩阵对角化理论。特征值与特征向量设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在常数 $\lambda$ 及 $n$ 维非零列向量 $\alpha$ ，使得$$ A\alpha = \lambda \alpha $$则称 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值， $\alpha$ 为矩阵 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，如何求 $\lambda$ ？解：$ \because A\alpha = \lambda \alpha \Leftrightarrow (\lambda E - A)\alpha = 0$ ，且 $\alpha \neq 0$ ；$\therefore (\lambda E - A)X = 0$ 有非零解，即 $r(\lambda E - A) < n$ 。$\therefore |\lambda E - A| = 0$ 。即 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值等价于 $|\lambda E - A| = 0$ ；Notes：$\lambda$ 不一定为实数。如：$A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ ，则 $|\lambda E - A| = \begin{bmatrix} \lambda - 2 & 2 \\ -1 & \lambda \end{bmatrix} = \lambda^2 - 2 \lambda + 2 = 0$ ，解得 $\lambda = 1 \pm i$ 。设 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ ，则 $a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$ 称为矩阵 $A$ 的迹，记为 $tr(A)$ 。特征方程设 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ ，称 $|\lambda E - A| = 0$ 为矩阵 $A$ 的特征方程。已知特征值 $\lambda_0$ ，如何求对应的特征向量？解：$\because |\lambda E - A| = 0, \ \therefore $ 齐次线性方程组 $(\lambda E - A)X…

[线性代数] 线性方程组
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date: 2024-09-14T07:10:00+00:00
description: 基本概念$$ \begin{multline} \shoveleft \begin{aligned} \text{方程组} \end{aligned} \end{multline} \left \{ \begin{array}{c} \tag{I} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0 \end{array} \right . $$称为 $n$ 元齐次线性方程组的基本形式。$$ \begin{multline} \shoveleft \begin{aligned} \text{方程组} \end{aligned} \end{multline} \left \{ \begin{array}{c} \tag{II} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_n \end{array} \right . $$称为 $n$​ 元非齐线性方程组的基本形式。方程组 $\text{(I)}$ 又称为方程组 $\text{(II)}$ 对应的齐次线性方程组或导出方程组。记 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ ，$X = \left [ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right ]$ ，$b = \left [ \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{matrix} \right ]$ ，则方程组 $\text{(I)}, \text{(II)}$ 可改写为$$ \begin{gather} AX = 0 && \tag{I'} \\ AX = b \tag{II'} \end{gather} $$方程组 $\text{(I')}$ 与方程组 $\text{(II')}$​ 分别称为齐次线性方程组和非齐线性方程组的矩阵形式。令 $\alpha_1 = \left [ \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{matrix} \right ] , \alpha_2 = \left [ \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{matrix} \right ] , \cdots , \alpha_1 = \left [ \begin{matrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{matrix} \right ], b = \left [ \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{matrix} \right ]$ ，则方程组 $\text{(I),(II)}$ 可以改写为$$ \begin{gather} x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n = 0 \tag{I''\ } \\ x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n = b \tag{II''} \end{gather} $$方程组 $\text{(I'')}$ 和方程组 $\text{(II'')}$ 分别称为齐次线性方程组和非齐线性方程组的向量形式。称 $\overline{A} = (A \vdots b) = \left [ \begin{array}{cccc:c} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & b \\ a_{21} & a_{22} & ... & a…

[线性代数] 向量
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date: 2024-09-13T15:59:00+00:00
description: 基本概念向量：既有大小 (长度) 又有方向的量称为向量。$\left [ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right ]$ ，$\left [ \begin{matrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{matrix} \right ]$ 分别称为 $n$ 维列向量和 $n$ 维行向量。其中 $a_i \ (i = 1, 2, \cdots , n)$ 称为向量的 $n$ 个分量。一般情况下的我们所指的向量为列向量。向量的模 (长度) ：设向量 $\alpha = \left [ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right ]$ ，称 $\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}$ 为向量 $\alpha$ 的模 (或长度) ，记为 $|\alpha|$ 。若 $|\alpha| = 0$ ，则 $\alpha$ 为零向量，即 $\alpha = 0$ 。若 $|\alpha| = 1$ ，则 $\alpha$ 为单位向量 (或规范向量) 。向量的单位化：设 $\alpha = \left [ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right ]$ 为非零向量，与向量 $\alpha$ 方向相同且长度为 1 的向量称为向量 $\alpha$ 对应的单位向量。令 $\alpha^0 = \frac{1}{|\alpha|} \alpha$ ，则 $\alpha^0$ 为向量 $\alpha$ 的单位化向量。向量的内积：设 $\alpha = \left [ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right ], \beta = \left [ \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{matrix} \right ]$ ，称 $a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$ 为向量 $\alpha, \beta$ 的内积，记为 $(\alpha, \beta)$ ，即 $(\alpha, \beta) = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$ 。向量内积运算的性质：$(\alpha, \beta) = (\beta, \alpha) = \alpha^T\beta = \beta^T\alpha$ 。$(\alpha, \alpha) = \alpha^T\alpha = |\alpha|^2$ ，且 $(\alpha, \alpha) = 0$ 的充分必要条件是 $\alpha = 0$ 。$(\alpha, k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + \cdots + k_n\beta_n) = k_1(\alpha, \beta_1) + k_2(\alpha, \beta_2) + \cdots + k_n(\alpha, \beta_n)$ 。若 $(\alpha, \beta) = 0 \Leftrightarrow a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = 0$ ，则称 $\alpha, \beta$ 正交，记为 $\alpha \perp \beta$ 。特别的，零向量与任何向量正交。向量三则运算的性质$\alpha + \beta = \beta + \alpha$ 。$\alpha + (\beta + \gamma) = (\alpha + \beta) + \gamma$ 。$k(\alpha + \beta) = k\alpha + k\beta$ 。$(k + l)\alpha = k\alpha + l\alpha$ 。向量组的相关性与线性表示背景对于齐次线性方程组$$ \left \{ \begin{array}{c} \tag{I} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0 \end{array} \right . $$及非齐线性方程组$$ \left \{ \begin{array}{c} \tag{II} a_…

[线性代数] 矩阵
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date: 2024-09-11T18:28:00+00:00
description: 基本概念矩阵：形如 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ 称为 $m \times n$ 矩阵，记为 $A = (a_{ij})_{m \times n}$​ 。矩阵是一个表格。若 $m = n$ ，则 $A$ 为一个方阵。若 $\forall a_{ij} = 0$ ，则 $A = 0$ ，即 $A$ 为一个零矩阵。同型矩阵：若矩阵 $A$ 和 $B$ 的行数和列数相同，则成矩阵 $A, B$ 为同型矩阵。矩阵相等：若矩阵 $A, B$ 为同型矩阵，且 $a_{ij} = b_{ij} (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n)$ ，则称矩阵 $A, B$ 相等，记为 $A = B$ 。伴随矩阵取 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right ]$ 为 $n$ 阶矩阵，记其中 $a_{ij}$ 的余子式为 $M_{ij}$ ，代数余子式为 $A_{ij}$ ，则称 $A^* = \left [ \begin{matrix} A_{11} & A_{21} & ... & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & ... & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & ... & A_{nn} \\ \end{matrix} \right ]$ 为矩阵 $A$​​​ 的伴随矩阵。伴随矩阵的性质：$AA^* = A^*A = |A|E$ ;$(A^T)^* = (A^*)^T$ ;$(kA)^* = k^{n - 1} A^*$ ;$(AB)^* = B^*A^*$ ;矩阵的运算及性质三则运算矩阵没有除法、矩阵加减设 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ , $B = \left [ \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & ... & b_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ ，则 $A \pm B = \left [ \begin{matrix} a_{11} \pm b_{11} & a_{12} \pm b_{12} & ... & a_{1n} \pm b_{1n} \\ a_{21} \pm b_{12} & a_{22} \pm b_{22} & ... & a_{2n} \pm b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} \pm b_{m1} & a_{m2} \pm b_{m2} & ... & a_{mn} \pm b_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ 。矩阵相乘数与矩阵相乘：$kA = \left [ \begin{matrix} ka_{11} & ka_{12} & ... & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & ... & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & ... & ka_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ 。矩阵内每个数都要乘，注意和行列式区分开。设 $A = \left [ \be…

[线性代数] 行列式
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date: 2024-09-05T11:47:00+00:00
description: 基本概念逆序：设 $i, j$ 是一堆不等的正整数，若 $i > j$ ，则称 $(i, j)$ 为一对逆序。逆序数：设 $i_1, i_2, ..., i_n$ 是 $1, 2, ... , n$ 的一个排列，该排列所含的逆序总数称为该排列的逆序数，记为 $\tau(i_1, i_2, ..., i_n)$ 。如 $\tau(421635) = 3 + 1 + 0 + 2 + 0 = 6$ 。行列式：由 $n^2$ 个数组成的下列记号：$$ \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | $$余子式和代数余子式：把行列式 $D = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | $ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列划掉，剩下的数按原先的排序构成的 $n - 1$ 阶行列式，称为元素 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$ 。令 $A_{ij} = (-1)^{i + j} M_{ij}$ ，则称 $A_{ij}$ 为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。定义法求行列式每行取一个不同列的数相乘，取 $n$ 次不同的组合；每种组合的正负号由其列标的逆序数决定，奇数为负，偶数为正；最后相加即为行列式的值。如：$$ \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix} \right | = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} $$例题：已知 $f(x) = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix} \right |$ ，求 $x^2$ 项的系数。特殊的行列式对角、上(下)三角行列式$$ \left | \begin{matrix} a_{11} & 0 & ... & 0 \\ 0 & a_{22} & ... & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | = \left | \begin{matrix} a_{11} & 0 & ... & 0 \\ a_{21} & a_{22} & ... & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | = a_{11}a_{22} ... a_{nn} $$范德蒙行列式形如 $V(a_1, a_2, ... , a_n) = \left | \begin{matrix} 1 & 1 & ... & 1 \\ a_{1} & a_{2} & ... & a_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1}^{n - 1} & a_{2}^{n - 1} & ... & a_{n}^{n - 1} \\ \…