基本概念二次型含 $n$ 个变量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 且每项都是 2 次的齐次多项式$$ f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \cdots + a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{22}x_2x_3 + \cdots + 2a_{n-1}x_{n-1, n}x_n $$称为二次型。若令 $a_{ij} = a_{ji} (i, j = 1, 2, \cdots, n)$ ，则二次型的矩阵形式为$$ f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = X^TAX $$其中 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ], X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$ 。标准二次型只含有平方项不含交叉项的二次型称为标准二次型。相对的，同时含有平方项和交叉项的二次型称为非标准二次型。二次型 $X^TAX$ 为标准二次型的充分必要条件是 $A$​ 为对角矩阵。二次型 $X^TAX$ 为非标准二次型的充分必要条件是 $A^T = A$ 但 $A$ 为非对角矩阵。规范二次型系数为 1 和 -1 的标准型，称为二次型的规范形。二次型的规范形是唯一的。二次型的标准化设 $f(X) = X^TAX$ 为一个二次型，经过可逆的线性变换 $X = PY$ (即 $P$ 为可逆矩阵) 把二次型 $f(X) = X^TAX$ 化为$$ f(X) = X^TAX \xlongequal{X = PY} Y^T(P^TAP)Y = l_1y_1^2 + l_2y_2^2 + \cdots + l_ny_n^2 $$称为二次型的标准化。二次型 $X^TAX$ 的标准化的过程即实对称矩阵 $A$ 对角化的过程，二次型标准化过程必须遵循两点原则：线性变换 $X = PY$ 中的矩阵 $P$ 一定为可逆矩阵。$P^TAP$​ 为对角矩阵。矩阵合同设 $A, B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^TAP = B$ ，称矩阵 $A$ 与 $B$ 合同，记为 $A \simeq B$ 。经过可逆线性变换的二次型的矩阵与原矩阵之间合同。矩阵合同具有反身性 ($A \simeq A$) ，对称性 ($A \simeq B \Rightarrow B \simeq A$) ，传递性 ($A \simeq B, B \simeq C \Rightarrow A \simeq C$) 。判别法： 设 $A, B$ 为实对称矩阵，则 $A \simeq B$ 的充分必要条件是 $A, B$ 的特征值中正，负及零的个数相同。基本定理标准型定理：任何二次型 $f(X) = X^TAX$ 总可以通过可逆的线性变换 $X = PY$ (其中 $P$ 为可逆矩阵) 化为标准型，即$$ f(X) = X^TAX \xlongequal{X = PY} Y^T(P^TAP)Y = l_1y_1^2 + l_2y_2^2 + \cdots + l_ny_n^2 $$惯性定理：二次型的标准型的系数中正，负系数的个数保持不变，分别称为二次型的正，负惯性指数。矩阵合同定理：设 $A, B$ 为实对称矩阵，则 $A \simeq B$ 的充分必要条件是 $A, B$ 的特征值中正，负及零的个数相同。Note： 实对称矩阵 $A, B$ 相似，则一定合同，但合同不一定相似。若 $A \sim B$ ，则 $A, B$ 特征值相同，从而有相同的正负惯性指数，所以 $A \simeq B$ 。(实对称矩阵相似的充分必要条件是特征值相同)若 $A \simeq B$ ，则 $A, B$ 只是正负惯性指数相同，但无法推出 $A, B$ 的特征值相同。二次型标准化方法配方法通过配方的方法把二次型化为若干部分的平方和与差，然后进行变换。例题：设 $f(x_1, x_2) = 5x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2$ ，用配方法将其化为标准型。解：令 $X^TAX = f(x_1, x_2)$ ，则有 $A = \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ 。将 $f(x_1, x_2)$ 配方得 $f(x_1, x_2) = 4x_1^2 + (x_1 - x_2)^2$ 令 $\left \{ \begin{align} & x_1 = y_1 \\ & x_1 - x_2 = y_2 \end{align} \right .$ ，即 $\left \{ \begin{align} & x_1 = y_1 \\ & x_2 = y_1 - y_2 \end{align} \right .$ ，或 $X = PY$ ，其中 $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, Y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}$ ，显然 $P$ 可逆。做可逆线性变换 $X = PY$ ，则$$ f(x_1, x_2) = X^TAX \xlongequal{X=PY} Y^T(P^TAP)Y = 4y_1^2 + y_2^2 $$正交变换法在可逆线性变换 $X = QY$ 中，$Q$ 是正交矩阵，且经过变换 $X = QY$ 可把二次型化为标准型。基本步骤：由 $|\lambda E - A| = 0$ 求出矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 。求出方程组 $(\lambda_iE - A)X = 0 (i = 1, 2, \cdots, n)$ (重复特征值只代入一次) 的基础解系，从而得到矩阵 $A$ 的线性无关的特征向量 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$​ 。将 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 进行施密特正交化和规范化 (正交化只在重特征值对应的线性无关的特征向量内部进行，不同特征值对应的特征向量之间不需要进行正交化) ，得到矩阵 $A$ 的两两正交的特征向量 $\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_n$ ；令 $Q = (\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_n)$ ，则 $Q$ 为正交矩阵，且 $Q^TAQ = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix}$ ；作正交变换 $X = QY$ ，则$$ f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = X^TAX \xlongequal{X = QY} Y^T(Q^TAQ)Y = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \cdots + \lambda_ny_n^2 $$例题：设 $f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3$ ，用正交变换法将其化为标准型。解：令 $f(x_1, x_2, x_3) = X^TAX$ ，则 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$ 。$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & -1 \\ -1 & \lambda & -1 \\ -1 & -1 & \lambda \end{vmatrix} = 0$ ，解得 $(\lambda - 2)(\lambda + 1)^2 = 0$ ，即 $\lambda_1 = \lambda_2 = -1, \lambda_3 = 2$ 。代入 $\lambda = -1$ 得 $E + A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ ，解得特征向量 $\alpha_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \alpha_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ 。代入 $\lambda = 2$ 得 $2E - A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ ，解得特征向量 $\alpha_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 。施密特正交化： $\beta_1 = \alpha_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \beta_2 = \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \beta_3 = \alpha_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 。规范化：$\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \gamma_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ ，且 $A\gamma_1 = -\gamma_1, A\gamma_2 = -\gamma_2, A\gamma_3 = 2\gamma_3$ 。令 $Q = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}$ ，则 $Q^TQ = E, Q^TAQ = \begin{bmatrix} -1 \\ & -1 \\ & & 2 \end{bmatrix}$ 。作正交变换 $X = QY$ ，得$$ f(x_1, x_2, x_3) = X^TAX \xlongequal{X = QY} Y^T(Q^TAQ)Y = -y_1^2 - y_2^2 + 2y_3^2 $$Notes：正交变换法化二次型为标准二次型时，标准型的系数一定为矩阵 $A$ 的特征值。配方法化二次型为标准二次型时，标准型的系数不一定为矩阵 $A$​ 的特征值，即二次型的标准型不唯一，但其系数中正负系数的个数是唯一的。正交变换保持向量的长度不变，即若 $Q$ 是正交矩阵，且 $X = QY$ ，则 $|X| = |Y|$ 。证明：$\because |X|^2 = X^TX = (QY)^T(QY) = Y^T(Q^TQ)Y = Y^TY = |Y|^2, \ \therefore |X| = |Y|$ 。正定矩阵与正定二次型例子：$f(x_1, x_2) = 3x_1^2 + 2x_2^2 = X^TAX$ 有如下特点：对任意的 $x_1, x_2$ ，有 $f(x_1, x_2) \geq 0$ ；$f(x_1, x_2) = 0$ 当且仅当 $x_1 = x_2 = 0$ ，或对任意的 $X \neq 0$ ，有 $X^TAX > 0$ 。$f(x_1, x_2) = 3x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = X^TAX$ 有如下特点：对任意的 $x_1, x_2$ ，有 $f(x_1, x_2) \geq 0$ ；$f(x_1, x_2) = 0$ 当且仅当 $x_1 = x_2 = 0$ ，或对任意的 $X \neq 0$ ，有 $X^TAX > 0$ 。正定二次型对二次型 $f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = X^TAX$ ，若对任意的 $X \neq 0$ ，总有 $X^TAX > 0$ ，称 $X^TAX$ 为正定二次型，$A$​ 为正定矩阵。永远大于等于 0 的二次型正定二次型的判别定义法若 $A, B$ 都是正定矩阵，则 $A + B$ 为正定矩阵。证明：对于任意的 $X \neq 0$ ，有 $X^T(A + B)X = X^TAX + X^TBX$ 。$\because A, B$ 都是正定矩阵，$\therefore X^TAX > 0, X^TBX > 0$ ，即 $A + B$ 为正定矩阵。特征值法设 $A^T = A$ ，则 $A$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $A$ 的特征值全为正数。例题：设 $A$ 为正定矩阵，证明 $A^{-1}$ 也为正定矩阵。证：$\because A$ 为正定矩阵，$\therefore A$ 的特征值全为正数，即 $\lambda_1 > 0, \cdots, \lambda_n > 0$ 。$\because A^{-1}$ 的特征值为 $\frac{1}{\lambda_1} > 0, \cdots, \frac{1}{\lambda_n} > 0, \ \therefore A^{-1}$ 为正定矩阵。例题：设 $A$ 为 $n$ 维正定矩阵，证明 $|A + E| > 1$ 。证：$\because A$ 为正定矩阵，$\therefore A$ 的特征值全为正数，即 $\lambda_1 > 0, \cdots, \lambda_n > 0$ 。$\because A + E$ 的特征值为 $\lambda_1 + 1 > 0, \cdots, \lambda_n + 1 > 0$ $\therefore |A + E| = (\lambda_1 + 1) \cdots (\lambda_n + 1) > 1$ 。顺序主子式法二次型 $X^TAX$ 为正定二次型的充分必要条件是 $A$ 的顺序主子式都大于零，即$$ a_{11} > 0, \ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} > 0, \cdots, |A| > 0 $$补充设 $A^T = A$ ，则 $A$ 为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵 $B$ ，使得 $A = B^TB$​ 。设 $A^T = A$ ，则 $A$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $A$ 与 $E$ 合同。设 $A^T = A$ ，则 $A$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $A$ 的正惯性指数为 $n$ 。设 $A, B$ 分别为 $m$ 阶和 $n$ 阶实对称矩阵，则 $\begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix}$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $A, B$ 都是正定矩阵。
基本概念二次型在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，且每一项次数都是 2 的多项式，称为二次型。二次型分为两种类型：非标准二次型及标准二次型。标准二次型：每一项都只有单个未知数的二次型。例题：设 $f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + x_2^2 - 3x_3^2$ 为标准二次型，将其矩阵化。解：令 $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}, \ X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$ ，则 $f(x_1, x_2, x_3) = X^TAX$ 。非标准二次型：存在含有不同未知数项的二次型。例题：设 $f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 - x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_2 - 4 x_2x_3$ 为非标准二次型，将其矩阵化。解：令 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & 3 \end{bmatrix}, \ X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$ ，则 $f(x_1, x_2, x_3) = X^TAX$ 。Notes：二次型 $X^TAX$ 为非标准二次型的充分必要条件是 $A^T = A$ 但 $A$ 为非对角矩阵。二次型 $X^TAX$ 为标准二次型的充分必要条件是 $A$ 为对角矩阵。将非标准二次型 $X^TAX$ 化为标准二次型等价于将矩阵 $A$ 对角化。特征值与特征向量的理论即矩阵对角化理论。特征值与特征向量设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在常数 $\lambda$ 及 $n$ 维非零列向量 $\alpha$ ，使得$$ A\alpha = \lambda \alpha $$则称 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值， $\alpha$ 为矩阵 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，如何求 $\lambda$ ？解：$ \because A\alpha = \lambda \alpha \Leftrightarrow (\lambda E - A)\alpha = 0$ ，且 $\alpha \neq 0$ ；$\therefore (\lambda E - A)X = 0$ 有非零解，即 $r(\lambda E - A) < n$ 。$\therefore |\lambda E - A| = 0$ 。即 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值等价于 $|\lambda E - A| = 0$ ；Notes：$\lambda$ 不一定为实数。如：$A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ ，则 $|\lambda E - A| = \begin{bmatrix} \lambda - 2 & 2 \\ -1 & \lambda \end{bmatrix} = \lambda^2 - 2 \lambda + 2 = 0$ ，解得 $\lambda = 1 \pm i$ 。设 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ ，则 $a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$ 称为矩阵 $A$ 的迹，记为 $tr(A)$ 。特征方程设 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ ，称 $|\lambda E - A| = 0$ 为矩阵 $A$ 的特征方程。已知特征值 $\lambda_0$ ，如何求对应的特征向量？解：$\because |\lambda E - A| = 0, \ \therefore $ 齐次线性方程组 $(\lambda E - A)X = 0$ 有非零解，从而 $\lambda_0$ 对应的特征向量为 $(\lambda_0 E - A)X = 0$ 的非零解。Notes：设 $n$ 阶矩阵的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ ，则有：$\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} = tr(A)$ ；$\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n = |A|$ 。$r(A) = n$ 的充分必要条件是 $\lambda_1 \neq 0, \lambda_2 \neq 0, \cdots \lambda_n \neq 0$ 。即 $r(A) = n \Leftrightarrow |A| \neq 0 \Leftrightarrow \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n \neq 0$$r(A) < n$ 的充分必要条件是 $A$ 有特征值 0 。即 $r(A) < n \Leftrightarrow |A| = 0 \Leftrightarrow \exists \lambda = 0$ 。例题：设 $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ ，求 $A$ 的特征值及其对应的线性无关的特征向量。解：由 $|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda - 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda - 1 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda - 1 \end{vmatrix} = (\lambda + 1)(\lambda - 2)^2 = 0$ 得 $A$ 的特征值为 $\lambda_1 = -1, \lambda_2, \lambda_3$ = 2 。代入 $\lambda = -1$ ，得 $-E - A \rightarrow E + A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ ，即 $\lambda_1 = -1$ 对应的线性无关的特征向量为 $\alpha_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 。代入 $\lambda = 2$ ，得 $2E - A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ ，即 $\lambda_2 = \lambda_3 = 2$ 对应得线性无关得特征向量为 $\alpha_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \ \alpha_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ 。矩阵相似设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP = B$ ，称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 相似，记为 $A \sim B$ 。若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP = \Lambda$ ，其中 $\Lambda$ 为对角矩阵，则称 $A$ 可以相似对角化。Notes：若 $A \sim B$ ，则 $r(A) = r(B)$ ，反之不对。若 $A \sim B$ ，则 $|\lambda E - A| = |\lambda E - B|$ ，即特征值相同，反之不对。(重要定理) 证明：由 $P^{-1}AP = B$ 可知：$$ |\lambda E - B| = |\lambda P^{-1}P - P^{-1}AP| = |P^{-1}| \cdot |\lambda E - A| \cdot |P| = |\lambda E - A| $$设 $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ ，$B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ ，显然 $|\lambda E - A| = |\lambda E - B|$ 。$\because r(A) = 1 \neq r(B) = 3, \ \therefore A \not\sim B$ 。若 $A \sim B$ ，则 $tr(A) = tr(B), \ |A| = |B|$ 。设 $A \sim B$ ，则$A^T \sim B^T$ 。证明：$\because A \sim B, \ \therefore $ 存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP = B$ 。两边转置得 $[(P^T)^{-1}]^{-1}A^T(P^T)^{-1} = B^T$ 。取 $P_1 = (P^T)^{-1}$ ，则有 $P_1^{-1}A^TP_1 = B^T$ ，即 $A^T \sim B^T$ 。若 $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$ ，则 $f(A) \sim f(B) $ 。证明：由 $P^{-1}AP = B$ 可知：$$ \begin{align} P^{-1}f(A)P &= a_nP^{-1}A^nP + a_{n-1}P^{-1}A^{n-1}P + \cdots + a_1P^{-1}AP + a_0E \\ &= a_nB^n + a_{n-1}B^{n-1} + \cdots + a_1B + a_0E = f(B) \end{align} $$即 $f(A) \sim f(B)$ 。若 $A, B$ 可逆，则 $A^{-1} \sim B^{-1}, \ A^* \sim B^*$ 。证明：$\because A \sim B$ ，$\therefore$ 存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP = B$ 。$\because A, B$ 可逆，$\therefore (P^{-1}AP)^{-1} = P^{-1}A^{-1}P = B^{-1}$ ，即 $A^{-1} \sim B^{-1}$ 。$\because A \sim B, \ \therefore |A| = |B|$ 。$\because A^* = |A|A^{-1}, B^* = |B|B^{-1}$ ，且 $A^{-1} \sim B^{-1}$ ，$\therefore P^{-1}A^*P = |A|P^{-1}A^{-1}P = |B|B^{-1} = B^*$ ，即 $A^* \sim B^*$ 。对称矩阵设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，若其转置矩阵与自身相等，即 $A = A^T$ ，称矩阵 $A$ 为对称矩阵。若矩阵 $A$ 中的每一个元素都为实数，则称矩阵 $A$ 为实对称矩阵。施密特正交化把一组线性无关的向量组转化为一组两两正交且规范的向量组 (正交规范组) 的过程称为施密特正交化。设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关，施密特正交化的过程分为两个步骤：正交化：令$$ \begin{align} \beta_1 &= \alpha_1, \ \beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1, \cdots, \\ \beta_n &= \alpha_n - \frac{(\alpha_n, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 - \frac{(\alpha_n, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)}\beta_2 - \cdots - \frac{(\alpha_n, \beta_{n-1})}{(\beta_{n-1}, \beta_{n-1})}\beta_{n-1} \end{align} $$则 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 两两正交。规范化 (或单位化) ：令 $\gamma_1 = \frac{1}{|\beta_1|}\beta_1, \gamma_2 = \frac{1}{|\beta_2|}\beta_2, \cdots, \frac{1}{|\beta_n|}\beta_n$ ，则 $\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_n$ 为两两正交且规范的向量组。例如：$\alpha_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \alpha_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \alpha_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 线性无关，令$$ \begin{align} \beta_1 &= \alpha_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} , \ \beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} , \\ \beta_3 &= \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)}\beta_2 = \frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \end{align} $$再令 $\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \gamma_2 = \frac{\sqrt{6}}{6}\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}, \gamma_3 = \frac{\sqrt{3}}{3}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ ，则 $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ 为两两正交且规范的向量组。正交矩阵设 $Q$ 为 $n$ 阶矩阵，若 $Q^TQ = E$ (或 $QQ^T = E$) ，称 $Q$ 为正交矩阵。Notes：若 $Q$ 为正交矩阵，则 $Q^{-1} = Q^T$ 。设 $Q = (\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_n)$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $Q$ 为正交矩阵的充分必要条件是 $\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_n$ 为两两正交的规范向量组。证明： $\because Q^TQ = \begin{bmatrix} \gamma_1^T \\ \gamma_2^T \\ \vdots \\ \gamma_n^T \end{bmatrix} (\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_n) = \begin{bmatrix} \gamma_1^T\gamma_1 & \gamma_1^T\gamma_2 & \cdots & \gamma_1^T\gamma_n \\ \gamma_2^T\gamma_1 & \gamma_2^T\gamma_2 & \cdots & \gamma_2^T\gamma_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \gamma_n^T\gamma_1 & \gamma_n^T\gamma_2 & \cdots & \gamma_n^T\gamma_n \end{bmatrix} = E$ ，$\therefore \left \{ \begin{align} \gamma_1^T\gamma_1 &= \gamma_2^T\gamma_2 = \cdots = \gamma_n^T\gamma_n = 1 \\ \gamma_i^T\gamma_j &= 0 \quad (i \neq j) \end{align} \right .$ ，即 $\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_n$ 为两两正交的规范向量组。若 $Q$ 为正交矩阵，则 $|Q| = \pm 1$ 。证明： 已知 $Q^TQ = E$ ，两边取模得 $|Q^TQ| = |E| \Rightarrow |Q^T| \cdot |Q| = 1 \Rightarrow |Q|^2 = 1$ ，即 $|Q| = \pm 1$ 。若 $Q$ 为正交矩阵， $Q$ 的特征值为 $1$ 或 $-1$ 。证明： 令 $QX = \lambda X \ (X \neq 0)$ ，两边转置得 $X^TQ^T = \lambda X^T$ 。两边右乘 $QX$ ，得 $X^TQ^TQX = \lambda X^TQX$ ，即 $(\lambda^2 - 1)X^TX = 0$ 。$\because X^TX = |X|^2 > 0, \ \therefore \lambda^2 - 1 = 0$ ，即 $\lambda = \pm 1$ 。若 $Q$ 为正交矩阵，且 $Y = QX$ (其中 $X, Y$ 为向量) ，则 $|Y| = |X|$ 。特征值与特征向量的性质一般性质设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $A$ 的不同特征值对应的特征向量线性无关。(重要性质) 证明：设 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 为 $A$ 的两个不同的特征值，$\lambda_1$ 对应的线性无关的特征向量为 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ ，特征值 $\lambda_2$ 对应的线性无关的特征向量为 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_s$ 。令$$ \begin{equation} \tag{1} k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_r\xi_r + l_1\eta_1 + l_2\eta_2 + \cdots + l_s\eta_s = 0 \end{equation} $$易知 $A\xi_1 = \lambda_1\xi_1, A\xi_2 = \lambda_1\xi_2, \cdots, A\xi_r = \lambda_1\xi_r$ ，$A\eta_1 = \lambda_2\eta_1, A\eta_2 = \lambda_2\eta_2, \cdots, A\eta_s = \lambda_2\eta_s$ ，将 $\text{(1)}$ 两边左乘 $A$ 得$$ \begin{equation} \tag{2} \lambda_1 (k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_r\xi_r) + \lambda_2 (l_1\eta_1 + l_2\eta_2 + \cdots + l_s\eta_s) = 0 \end{equation} $$由 $\text{(2)} - \lambda_2\text{(1)}$ 得$$ \begin{equation} (\lambda_1 - \lambda_2)(k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_r\xi_r) = 0 \end{equation} $$$\because \xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 线性无关，且 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ ，$\therefore k_1 = k_2 = \cdots = k_r = 0$ 。将 $k_1, k_2, \cdots k_r$ 代入 $\text{(1)}$ ，得$$ \begin{equation} l_1\eta_1 + l_2\eta_2 + \cdots + l_s\eta_s = 0 \end{equation} $$$\because \eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_s$ 线性无关，$\therefore l_1 = l_2 = \cdots = l_s = 0$ 。综上可得：$\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r, \eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_s$ 线性无关。设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，$\lambda_1, \lambda_2$ 为 $A$ 的两个不相等的特征值，又 $A\alpha = \lambda_1 \alpha, A\beta = \lambda_2 \beta$ ( $\alpha, \beta$ 为非零向量 ) 。则对任意的 $a \neq 0, b \neq 0$ ，向量 $a\alpha + b \beta$ 一定不是特征向量。(重要考点)证明： 假设 $\alpha + \beta$ 为 $A$ 的特征向量，则有 $A(\alpha + \beta) = \lambda_3 (\alpha + \beta)$ 。代入 $A\alpha = \lambda_1 \alpha, A\beta = \lambda_2 \beta$ ，得 $\lambda_1\alpha + \lambda_2\beta = \lambda_3\alpha + \lambda_3\beta$ ，即 $(\lambda_1 - \lambda_3)\alpha + (\lambda_2 - \lambda_3)\beta = 0$ 。$\because \alpha, \beta$ 线性无关，$\therefore \lambda_1 - \lambda_3 = 0, \lambda_2 - \lambda_3 = 0$ ，即 $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3$ ，矛盾。故 $a\alpha + b\beta$ 不是特征向量。设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $A\alpha = \lambda_0\alpha$ ( $\alpha$ 为非零向量 ) ，$f(x) = a_nx^n + \cdots + a_1x + a_0$ ，令 $f(A) = a_nA^n + \cdots + a_1A + a_0E$ ，则$f(A)\alpha = f(\lambda_0)\alpha$ ，即 $f(\lambda_0)$ 为 $f(A)$ 的特征值，$\alpha$ 为 $f(A)$ 的特征向量。证明：$\because A\alpha = \lambda_0\alpha, \ \therefore A^2\alpha = A \cdot A\alpha = \lambda_0 A\alpha = \lambda_0^@\alpha$ ，依次类推可得 $A^3\alpha = \lambda_0^3\alpha, \cdots, A^n\alpha = \lambda_0^n\alpha$ 。$\therefore f(A)\alpha = (a_nA^n + \cdots + a_1A + a_0)\alpha = (a_n\lambda_0^n + \cdots + a_1\lambda_0 + a_0)\alpha = f(\lambda_0)\alpha$ 。若 $A$ 可逆，则 $A^{-1}\alpha = \frac{1}{\lambda_0}\alpha$ ，即 $\frac{1}{\lambda_0}$ 为 $A^{-1}$ 的特征值，$\alpha$ 为 $A^{-1}$ 的特征向量。证明：$\because A$ 可逆，$\therefore \lambda_0 \neq 0$。$A\alpha = \lambda_0\alpha$ 两边左乘 $A^{-1}$ 得 $\alpha = \lambda_0A^{-1}\alpha$ ，即 $A^{-1}\alpha = \frac{1}{\lambda_0}\alpha$ 。若 $A$ 可逆，则 $A^{*}\alpha = \frac{|A|}{\lambda_0}\alpha$ ，即 $\frac{|A|}{\lambda_0}$ 为 $A^{*}$ 的特征值，$\alpha$ 为 $A^{*}$ 的特征向量。证明：$\because A$ 可逆，$\therefore \lambda_0 \neq 0$。$A\alpha = \lambda_0\alpha$ 两边左乘 $A^{*}$ 得 $|A|\alpha = \lambda_0A^{*}\alpha$ ，即 $A^{*}\alpha = \frac{|A|}{\lambda_0}\alpha$ 。Note： 若 $A$ 可逆，则 $A, A^{-1}, A^*$ 的特征向量相同。例题：设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，且 $A\alpha = \lambda_0\alpha$ ( $\alpha$ 为非零向量 ) ，求 $(A^*)^2 + E$ 的特征值。解：$\because A\alpha = \lambda_0\alpha, \ \therefore A^*\alpha = \frac{|A|}{\lambda_0}\alpha$ 。$\therefore [(A^*)^2 + E]\alpha = [(\frac{|A|}{\lambda_0})^2 + 1]\alpha$ ，即 $(A^*)^2 + E$ 的特征值为 $(\frac{|A|}{\lambda_0})^2 + 1$ 。例题：设矩阵 $A, B$ 为 4 阶矩阵且 $A \sim B$ ，$A$ 的特征值为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$ ，求 $|B^{-1} - E|$ 。解：$\because A \sim B, \ \therefore A^{-1} \sim B^{-1}$ ，即 $A^{-1}, B^{-1}$ 的特征值相等，为 $2, 3, 4, 5$ 。$\therefore B^{-1} - E$ 的特征值为 $1, 2, 3, 4$ 。$\therefore |B^{-1} - E| = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$ 。设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $A$ 可相似对角化 (或与对角矩阵相似) 的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。实对称矩阵的性质设 $A$ 为实对称矩阵，则 $A$ 的特征值都是实数。设 $A$ 为实对称矩阵，则 $A$ 的不同特征值对应的特征向量正交。证明：设 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 为矩阵 $A$ 的两个不相等的特征值，其对应的特征向量为 $\alpha_1, \alpha_2$ 。由 $A\alpha_1 = \lambda_1\alpha_1$ 两边转置得 $\alpha_1^TA^T = \alpha_1^TA = \lambda_1\alpha_1^T$ 。等式两边同时右乘 $\alpha_2$ ，得 $\alpha_1^TA\alpha_2 = \lambda_1\alpha_1^T\alpha_2$ ，即 $(\lambda_2 - \lambda_1)\alpha_1^T\alpha_2 = 0$ 。$\because \lambda_1 \neq \lambda_2, \ \therefore \alpha_1^T\alpha_2 = 0$ ，即 $\alpha_1, \alpha_2$ 正交。设 $A$ 为实对称矩阵，则 $A$ 一定可以相似对角化。特别的，存在正交矩阵 $Q$ ，使得$$ Q^TAQ = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \lambda_2 & ... & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & ... & \lambda_n \\ \end{bmatrix} $$其中 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 为矩阵 $A$ 的特征值。矩阵对角化设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，其特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 。若存在可逆矩阵 $P$ 使得$$ P^{-1}AP = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} $$称矩阵 $A$ 可相似对角化，或 $A$ 可以对角化， $A$ 与对角矩阵相似。Notes：若矩阵 $A$ 的特征值都是单值，则 $A$ 一定可以相似对角化。若 $A$ 为实对称矩阵，则 $A$ 一定可以相似对角化。若 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，则 $A$ 一定可以相似对角化。若矩阵 $A$ 的每个特征值的重数与其对应的线性无关的特征向量个数相等时， $A$​ 一定可以相似对角化。若矩阵 $A$ 至少有一个特征值，其重数与其对应的线性无关的特征向量个数不同时， $A$ 一定不可以相似对角化。一般矩阵的相似对角化由 $|\lambda E - A| = 0$ 求出矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ ；求齐次线性方程组 $(\lambda_iE - A)X = 0 \ (1 \leq i \leq n)$ 的基础解系，进而求出矩阵 $A$ 的线性无关的特征向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ ；若 $m < n$ ，则矩阵 $A$ 不可相似对角化。若 $m = n$ ，则矩阵 $A$ 可以相似对角化，对焦环过程如下：令 $P = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)$ ，向量组线性无关可知 $P$ 可逆。由 $A\alpha_1 = \lambda_1\alpha_1, A\alpha_2 = \lambda_2\alpha_2, \cdots, A\alpha_n = \lambda_n\alpha_n$ 得$$ AP = P \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} $$两边同时乘以 $P^{-1}$ 得$$ P^{-1}AP = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} $$实对称矩阵的相似对角化由 $|\lambda E - A| = 0$ 求出矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ ；求齐次线性方程组 $(\lambda_iE - A)X = 0 \ (1 \leq i \leq n)$ 的基础解系，进而求出矩阵 $A$ 的线性无关的特征向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ ；(实对称矩阵一定可以相似对角化)情形一：求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。令 $P = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)$ ，显然 $P$ 可逆。由 $A\alpha_1 = \lambda_1\alpha_1, A\alpha_2 = \lambda_2\alpha_2, \cdots, A\alpha_n = \lambda_n\alpha_n$ 得$$ AP = P \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} $$两边同时乘以 $P^{-1}$ 得$$ P^{-1}AP = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} $$情形二：求正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^TAQ$ 为对角矩阵。将 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 通过施密特正交化转换为两两正交且规范的向量组 $Q = (\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_n)$ ，显然 $Q^TQ = E$ ，即 $Q$ 为正交矩阵。由 $A\gamma_1 = \lambda_1\gamma_1, A\gamma_2 = \lambda_2\gamma_2, \cdots, A\gamma_n = \lambda_n\gamma_n$ 得$$ AQ = Q \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} $$两边同时乘以 $Q^{T}$ (正交矩阵 $Q^{-1} = Q^T$) 得$$ Q^{T}AQ = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} $$
基本概念$$ \begin{multline} \shoveleft \begin{aligned} \text{方程组} \end{aligned} \end{multline} \left \{ \begin{array}{c} \tag{I} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0 \end{array} \right . $$称为 $n$ 元齐次线性方程组的基本形式。$$ \begin{multline} \shoveleft \begin{aligned} \text{方程组} \end{aligned} \end{multline} \left \{ \begin{array}{c} \tag{II} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_n \end{array} \right . $$称为 $n$​ 元非齐线性方程组的基本形式。方程组 $\text{(I)}$ 又称为方程组 $\text{(II)}$ 对应的齐次线性方程组或导出方程组。记 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ ，$X = \left [ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right ]$ ，$b = \left [ \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{matrix} \right ]$ ，则方程组 $\text{(I)}, \text{(II)}$ 可改写为$$ \begin{gather} AX = 0 && \tag{I'} \\ AX = b \tag{II'} \end{gather} $$方程组 $\text{(I')}$ 与方程组 $\text{(II')}$​ 分别称为齐次线性方程组和非齐线性方程组的矩阵形式。令 $\alpha_1 = \left [ \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{matrix} \right ] , \alpha_2 = \left [ \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{matrix} \right ] , \cdots , \alpha_1 = \left [ \begin{matrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{matrix} \right ], b = \left [ \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{matrix} \right ]$ ，则方程组 $\text{(I),(II)}$ 可以改写为$$ \begin{gather} x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n = 0 \tag{I''\ } \\ x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n = b \tag{II''} \end{gather} $$方程组 $\text{(I'')}$ 和方程组 $\text{(II'')}$ 分别称为齐次线性方程组和非齐线性方程组的向量形式。称 $\overline{A} = (A \vdots b) = \left [ \begin{array}{cccc:c} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & b \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} & b \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} & b \\ \end{array} \right ]$ 为方程组 $\text{(II')}$​ 的增广矩阵。线性方程组解的结构设 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_s$ 为齐次线性方程组 $AX = 0$ 的一组解，则 $k_1\xi_1, k_2\xi_2, \cdots, k_s\xi_s$ 也是齐次线性方程组 $AX = 0$ 的一组解，其中 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ 为任意常数。设 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_s$ 为非齐线性方程组 $AX = b$ 的一组解，则 $k_1\eta_1, k_2\eta_2, \cdots, k_s\eta_s$ 为非齐线性方程组 $AX = b$ 的解的充分必要条件是 $k_1 + k_2 + \cdots + k_s = 1$ 。设 $\eta_0$ 为非齐线性方程组 $AX = b$ 的一个解，$\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_s$ 为齐次线性方程组 $AX = 0$ 的一组解，则 $k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_s\xi_s + \eta_0$ 为 $AX = b$ 的解，其中 $k_1, k_2, \cdots, k_s$​ 为任意常数。(非齐特解 + 齐通解 = 非齐通解)设 $\eta_1, \eta_2$ 为非齐线性方程组 $AX = b$ 的两个解，则 $\eta_2 - \eta_1$ 为齐次线性方程组 $AX = 0$ 的一个解。设 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_s$ 为非齐线性方程组 $AX = b$ 的一组解，则 $k_1\eta_1, k_2\eta_2, \cdots, k_s\eta_s$ 为齐次线性方程组 $AX = 0$ 的解的充分必要条件是 $k_1 + k_2 + \cdots + k_s = 0$​ 。线性方程组解的基本定理如无特殊说明，$A$ 默认指 $m$ 行 $n$ 列的矩阵。定理 1 ：设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，则齐次线性方程组 $AX = 0$ 只有零解的充分必要条件是 $r(A) = n$ 。齐次线性方程组 $AX = 0$ 有非零解 (或由无数个解) 的充分必要条件是 $r(A) < n$​ 。三秩相等推论 1 ：设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则齐次线性方程组 $AX = 0$ 只有零解的充分必要条件是 $|A| \neq 0$ 。齐次线性方程组 $AX = 0$ 有非零解 (或由无数个解) 的充分必要条件是 $|A| = 0$ 。推论 2 ：设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，且 $m < n$ ，则齐次线性方程组 $AX = 0$ 一定有非零解。(两边长上下短)定理 2 ：设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，增广矩阵 $\overline{A} = (A \vdots b)$ ，则非齐线性方程组 $AX = b$ 有解的充分必要条件是 $r(A) = r(\overline{A})$​ 。其中当 $r(A) = r(\overline{A}) = n$ 时，非齐线性方程组 $AX = b$ 有唯一解；$r(A) = r(\overline{A}) < n$ 时，非齐线性方程组 $AX = b$ 有无数个解。非齐线性方程组 $AX = b$ 无解的充分必要条件是 $r(A) \neq r(\overline{A})$​​ 。当 $r(A) \neq r(\overline{A})$ 时，$r(\overline{A}) = r(A) + 1$ 。推论 ：设 $A$ 为 $n$​ 阶矩阵，则非齐线性方程组 $AX = b$ 有解的充分必要条件是 $r(A) = r(\overline{A})$​ 。其中当 $|A| \neq 0$ 时，非齐线性方程组 $AX = b$ 有唯一解；$|A| = 0$ 时，非齐线性方程组 $AX = b$ 有无数个解。非齐线性方程组 $AX = b$ 无解的充分必要条件是 $r(A) \neq r(\overline{A})$​​ 。Notes：$AX = b$ 有唯一解可推出 $AX = 0$ 仅有零解，反之不对；$AX = b$ 有无数解可推出 $AX = 0$​ 有非零解，反之不对。证明：$AX = 0$ 仅有零解 $\Leftrightarrow r(A) = n, \ AX = b$ 有唯一解 $\Leftrightarrow r(A) = r(\overline{A}) = n$ 。显然后者可以推出前者，而前者不能推出后者。第二条的证明同上。当 $r(A) = m$ 时，非齐线性方程组 $AX = b$ 有解。证明：$\because r(A) = m, \ \therefore r(\overline{A}) \geq r(A) = m$ 。又 $\because \overline{A}$ 为 $m$ 行 $n + 1$ 列的矩阵，$\therefore r(\overline{A}) \leq m$ 。$\therefore r(A) = r(\overline{A}) = m$ ，即非齐线性方程组 $AX = b$​ 有解。定理 3 ：设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times s$ 矩阵，若 $AB = O$ ，则 $B$ 的列向量组为方程组 $AX = 0$ 的解。(重要定理)证明：令 $B = (\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s)$ ，则 $AB = (A\beta_1, A\beta_2, \cdots, A\beta_s)$ 。$\because AB = O, \ \therefore A\beta_1 = A\beta_2 = \cdots = A\beta_s = 0$ 。即 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$ 为方程组 $AX = 0$ 的解。线性方程组的通解齐次线性方程组的基础解系与通解基础解系：设 $r(A) = r < n$ ，则 $AX = 0$ 所有解构成的解向量组的极大线性无关组称为方程组 $AX = 0$ 的一个基础解系。当 $r(A) = r$ 时，$AX = 0$ 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为 $n - r$​ 个。设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，且 $r(A) = r < n$ ，$\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_s$ 为一个向量组。若$\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_s$ 为齐次线性方程组 $AX = 0$ 的解；$\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_s$ 线性无关；$s = n - r$ ；则称 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_s$ 为齐次线性方程组 $AX = 0$ 的基础解系。通解：设 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_s$ 为齐次线性方程组 $AX = 0$ 的一个基础解系，则称 $k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r}$ 为齐次线性方程组 $AX = 0$ 的通解，其中 $k_1, k_2, \cdots, k_{n-r}$ 为任意常数。基础解系的求法求齐次线性方程组的基础解系时，把其系数矩阵通过初等行变换进行阶梯化，每行第一个非零元素所在的列对应的未知数是约束变量，其余为自由变量，从而可以确定基础解系。最好将每行第一个元素化为 1 (归一化) ，且其所在的列其余元素都化为 0 (排他性) 。如：对齐次线性方程组 $AX = 0$ 的稀疏矩阵 $A$ 进行初等行变换，化为$$ A \rightarrow \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right ] $$则 $r(A) = 3 < 5$ ，方程组 $AX = 0$ 的基础解系含有 $n - r = 2$ 个线性无关的解向量，其中 $x_1, x_2, x_3$ 为约束变量，$x_4, x_5$ 为自由变量。$(x_4, x_5)$ 分别取 $(1, 0)$ 和 $(0, 1)$ ，则基础解系为$$ \xi_1 = (-2, 1, -3, 1, 0)^T, \quad \xi_2 = (3, -4, 2, 0, 1) $$系数矩阵中对应项放到基础解系中记得取反。非齐线性方程组的通解设 $r(A) = r(\overline{A}) = r < n$ ，且 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ 为 $AX = b$ 的导出方程组 $AX = 0$ 的一个基础解系，$\eta_0$ 为 $AX = b$ 的一个解，则 $AX = b$ 的通解为 $k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r} + \eta_0$ ，其中 $k_1, k_2, \cdots, k_{n-r}$​ 为任意常数。例题：判断非齐线性方程组 $\left \{ \begin{array}{c} x_1 + 2x_2 - 3x_3 + 5x_4 = 3 \\ 2x_1 + 3x_2 + x_3 - 3x_4 = -1 \\ 3x_1 + 5x_2 - 2x_3 + 2x_4 = 2 \end{array} \right .$ 是否有解。若有无穷多个解，求出其通解。解：$$ \overline{A} = \left [ \begin{matrix} 1 & 2 & -3 & 5 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & -3 & -1 \\ 3 & 5 & -2 & 2 & 2 \end{matrix} \right ] \rightarrow \left [ \begin{matrix} 1 & 2 & -3 & 5 & 3 \\ 0 & -1 & 7 & -13 & -7 \\ 0 & -1 & 7 & -13 & -7 \end{matrix} \right ] \rightarrow \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 11 & -21 & -11 \\ 0 & 1 & -7 & 13 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right ] $$$\because r(A) = r(\overline{A}) = 2 < 4, \ \therefore$ 原方程组有无穷多个解，通解为：$$ X = k_1 \left [ \begin{matrix} -11 \\ 7 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right ] + k_2 \left [ \begin{matrix} 21 \\ -13 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right ] + \left [ \begin{matrix} -11 \\ 7 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right ] \ (\text{其中} k_1, k_2 \text{为任意常数}) $$线性方程组的同解与公共解线性方程组同解设方程组 $AX = 0$ 与 $BX = 0$ 为同解方程组，则 $r(A) = r(B)$ ，反之不对。证明：齐次线性方程组 $AX = 0$ 的基础解系含 $n - r(A)$ 个线性无关的解向量，齐次线性方程组 $BX = 0$ 的基础解系含 $n - r(B)$ 个线性无关的解向量，因为 $AX=0$ 与 $BX=0$ 同解，所以 $n - r(A) = n - r(B)$ ，即 $r(A) = r(B)$ 。反例：设 $A = \left [ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{matrix} \right ]$ ，$B = \left [ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right ]$ ，显然 $r(A) = r(B) = 1$ ，但方程组 $A = \left \{ \begin{array}{lr} x_1 - x_2 = 0 \\ 2x_1 - 2x_2 = 0 \end{array} \right .$ 与 $A = \left \{ \begin{array}{lr} x_1 + 2x_2 = 0 \\ 2x_1 + 4x_2 = 0 \end{array} \right .$ 不同解。解题流程：由 $AX = 0$ 与 $BX = 0$ 同解，确定其中一个矩阵，如 $A$ 确定；若 $AX = 0$ 确定，则求出其基础解系，并代入 $BX = 0$ 求解矩阵 $B$ ；解出后验证 $r(A)$ 是否等于 $r(B)$ 。对非齐线性方程组$$ \begin{gather} AX = b && \tag{I} \\ BX = c \tag{II} \end{gather} $$若 $AX = 0$ 与 $BX = 0$ 同解，且 $(\text{I}), (\text{II})$ 有一个共同的特解，则 $(\text{I}), (\text{II})$ 同解。解题流程：$(\text{I}), (\text{II})$ 同解 $\Rightarrow AX = 0$ 与 $BX = 0$ 同解 $\Rightarrow r(A) = r(B) \Rightarrow $ 确定 $A$ 或者 $B$ 。设 $A$ 确定，则求出 $AX = 0$ 的基础解系，并代入 $B$ 求解。若 $r(A) = r(B)$ ，则 $AX = 0$ 与 $BX = 0$ 同解 (验证是否同解) 。设 $A\eta = b$ ，若 $B\eta = c$ ，则 $(\text{I}), (\text{II})$ 同解。线性方程组的公共解设$$ \begin{gather} AX = b && \tag{I} \\ BX = c \tag{II} \end{gather} $$则线性方程组$$ \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} X = \begin{bmatrix} b \\ c \end{bmatrix} \tag{III} $$的解即为线性方程组 $(\text{I}), (\text{II})$ 的公共解。Notes：$\text{(III)}$ 的解即 $(\text{I}), (\text{II})$ 的公共解；$(\text{I}), (\text{II})$ 有公共解的充分必要条件是 $\text{(III)}$ 有解。
基本概念向量：既有大小 (长度) 又有方向的量称为向量。$\left [ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right ]$ ，$\left [ \begin{matrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{matrix} \right ]$ 分别称为 $n$ 维列向量和 $n$ 维行向量。其中 $a_i \ (i = 1, 2, \cdots , n)$ 称为向量的 $n$ 个分量。一般情况下的我们所指的向量为列向量。向量的模 (长度) ：设向量 $\alpha = \left [ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right ]$ ，称 $\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}$ 为向量 $\alpha$ 的模 (或长度) ，记为 $|\alpha|$ 。若 $|\alpha| = 0$ ，则 $\alpha$ 为零向量，即 $\alpha = 0$ 。若 $|\alpha| = 1$ ，则 $\alpha$ 为单位向量 (或规范向量) 。向量的单位化：设 $\alpha = \left [ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right ]$ 为非零向量，与向量 $\alpha$ 方向相同且长度为 1 的向量称为向量 $\alpha$ 对应的单位向量。令 $\alpha^0 = \frac{1}{|\alpha|} \alpha$ ，则 $\alpha^0$ 为向量 $\alpha$ 的单位化向量。向量的内积：设 $\alpha = \left [ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right ], \beta = \left [ \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{matrix} \right ]$ ，称 $a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$ 为向量 $\alpha, \beta$ 的内积，记为 $(\alpha, \beta)$ ，即 $(\alpha, \beta) = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$ 。向量内积运算的性质：$(\alpha, \beta) = (\beta, \alpha) = \alpha^T\beta = \beta^T\alpha$ 。$(\alpha, \alpha) = \alpha^T\alpha = |\alpha|^2$ ，且 $(\alpha, \alpha) = 0$ 的充分必要条件是 $\alpha = 0$ 。$(\alpha, k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + \cdots + k_n\beta_n) = k_1(\alpha, \beta_1) + k_2(\alpha, \beta_2) + \cdots + k_n(\alpha, \beta_n)$ 。若 $(\alpha, \beta) = 0 \Leftrightarrow a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = 0$ ，则称 $\alpha, \beta$ 正交，记为 $\alpha \perp \beta$ 。特别的，零向量与任何向量正交。向量三则运算的性质$\alpha + \beta = \beta + \alpha$ 。$\alpha + (\beta + \gamma) = (\alpha + \beta) + \gamma$ 。$k(\alpha + \beta) = k\alpha + k\beta$ 。$(k + l)\alpha = k\alpha + l\alpha$ 。向量组的相关性与线性表示背景对于齐次线性方程组$$ \left \{ \begin{array}{c} \tag{I} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0 \end{array} \right . $$及非齐线性方程组$$ \left \{ \begin{array}{c} \tag{II} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_n \end{array} \right . $$令 $\alpha_1 = \left [ \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{matrix} \right ] , \alpha_2 = \left [ \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{matrix} \right ] , \cdots , \alpha_1 = \left [ \begin{matrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{matrix} \right ], b = \left [ \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{matrix} \right ]$ ，则方程组 $\text{(I),(II)}$ 可以表示为如下向量形式：$$ \begin{gather} x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n = 0 \tag{I'\ } \\ x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n = b \tag{II'} \end{gather} $$向量组的相关性与线性表示理论本质上就是以向量为工具对方程组理论进行描述。定义相关性对齐次线性方程组$$ \begin{gather} x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n = 0 \tag{I} \end{gather} $$若方程组 $\text{(I)}$ 只有零解，即 $\text{(I)}$ 成立当且仅当 $x_1 = x_2 = \cdots x_n = 0$ ，称向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性无关。约束条件的个数和方程组的个数相同。若方程组 $\text{(I)}$ 有非零解，即存在不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots , k_n$ ，使得$$ k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n = 0 \ , $$称向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性相关。线性表示对非齐线性方程组$$ \begin{gather} x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n = b \tag{II} \end{gather} $$若方程组 $\text{(II)}$ 有解，即存在常数 $k_1, k_2, \cdots , k_n$ ，使得$$ k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n = b \ , $$称向量 $b$ 可以由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性表示。若方程组 $\text{(II)}$ 无解，称向量 $b$ 不可由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$​ 线性表示。定义法证明相关性例题：设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，$\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2, \ \beta_2 = \alpha_2 + \alpha_3, \ \beta_3 = \alpha_3 + \alpha_1$ ，求向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的相关性。解：令 $k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3 = 0$ ，代入 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 得$$ (k_1 + k_3) \alpha_1 + (k_1 + k_2) \alpha_2 + (k_2 + k_3) \alpha_3 = 0 $$$\because \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，$\therefore k_1 + k_3 = k_1 + k_2 = k_2 + k_3 = 0$​ ，$\because |A| = \left | \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right | = 2 \neq 0, \ \therefore r(A) = 3$ 。 解得 $k_1 = k_2 = k_3 = 0$ ，即 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性无关。例题：设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关，$\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2, \beta_2 = \alpha_2 + \alpha_3， \beta_3 = \alpha_3 + \alpha_4, \beta_4 = \alpha_4 + \alpha_1$ ，求向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 的相关性。解：令 $k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3 + k_4\beta_4 = 0$ ，代入 $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 得$$ (k_1 + k_4) \alpha_1 + (k_1 + k_2) \alpha_2 + (k_2 + k_3) \alpha_3 + (k_3 + k_4) \alpha_4 = 0 $$$\because \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关，$\therefore \left \{ \begin{array}{c} k_1 + k_4 = 0 \\ k_1 + k_2 = 0 \\ k_2 + k_3 = 0 \\ k_3 + k_4 = 0 \end{array} \right . \quad (*)$​ 。$\because |A| = \left | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right | = 0, \ \therefore r(A) < 4$ ，即 $(*)$ 有非零解。$\therefore \beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$​ 线性相关。另法：$\because \beta_1 - \beta_2 = \alpha_1 - \alpha_3, \ \beta_3 - \beta_4 = \alpha_3 - \alpha_1$ ，$\therefore \beta_1 - \beta_2 + \beta_3 - \beta_4 = 0$ ，即 $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$​ 线性相关。例题：设向量 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，向量 $\beta \neq 0$ 且与 $\alpha_1, \alpha_2$ 正交，证明 $\alpha_1, \alpha_2, \beta$ 线性无关。证：令 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_0\beta = 0$ ，有 $(\beta, k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_0\beta) = 0$ 。$\because \beta$ 与 $\alpha_1, \alpha_2$ 正交，$\therefore k_0(\beta, \beta) = 0$ ，而 $\beta$ 为非零向量，所以 $k_0 = 0$ ，代入得 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 = 0$$\because \alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，$\therefore k_1 = k_2 = 0$ 。$\therefore \alpha_1, \alpha_2, \beta$ 线性无关。性质向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性相关的充分必要条件是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 中至少有一个向量可由其余向量线性表示。证明：充分性：设存在常数 $l_1, \cdots l_{k - 1}, l_{k+1}, \cdots , l_n$ ，使得$$ \alpha_k = l_1\alpha_1 + \cdots + l_{k - 1}\alpha_{k - 1} + l_{k + 1}\alpha_{k + 1} + \cdots + l_n\alpha_n $$即 $l_1\alpha_1 + \cdots + l_{k - 1}\alpha_{k - 1} - \alpha_k + l_{k + 1}\alpha_{k + 1} + \cdots + l_n\alpha_n = 0$ 。因为系数不全为零，所以向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性相关。必要性：$\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性相关，即存在不全为零的常数 $k_1, k_2, \cdots , k_n$ ，使得$$ k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n = 0 \ $$不妨设 $k_1 \neq 0$ ，则 $\alpha_1 = -\frac{k_2}{k_1}\alpha_2 -\frac{k_3}{k_1}\alpha_3 - \cdots - -\frac{k_n}{k_1}\alpha_n$ ，即向量 $\alpha_1$ 可由向量组 $\alpha_2, \alpha_3, \cdots , \alpha_n$​ 线性表示。Notes：含零向量的向量组一定线性相关。证明：设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ ，且 $\alpha_1 = 0$ 。$\because 2\alpha_1 + 0\alpha_2 + \cdots + 0\alpha_n = 0 \ , \ \therefore$ 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性相关。 (另一种证明方法) $\because \alpha_1 = 0\alpha_2 + \cdots + 0\alpha_n \ , \ \therefore $ 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性相关。 $\alpha, \beta$ 线性相关的充分必要条件是 $\alpha, \beta$ 成比例。证明：充分性：设 $\beta = k\alpha$ ，则有 $k\alpha + (-1)\beta = 0$ ，即 $\alpha, \beta$ 线性相关。必要性：因为 $\alpha, \beta$ 线性相关，所以存在不全为零的常数 $k_1, k_2$ ，满足 $k_1\alpha + k_2\beta = 0$ 。不妨设 $k_1 \neq 0$ ，则有 $\alpha = -\frac{k_2}{k_1} \beta$ ，即 $\alpha, \beta$ 成比例。设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性无关，则$\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n, b$ 线性无关的充分必要条件是向量 $b$ 不可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性表示。若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n, b$ 线性相关，则向量 $b$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 唯一线性表示。证明：线性表示：$\because \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n, b$ 线性相关，$\therefore $ 存在不全为零的常数 $k_1, k_2, \cdots , k_n, k_0$ ，使得$$ k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n +k_0b = 0 $$若 $k_0 = 0$ ，则有 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n = 0$ 。由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性相关知 $k_1 + k_2 + \cdots + k_n = 0$ ，与 $k_1, k_2, \cdots , k_n, k_0$ 不全为零矛盾，因此 $k_0 \neq 0$ 。$\therefore b = -\frac{k_1}{k_0}\alpha_1 - \frac{k_2}{k_0}\alpha_2 - \cdots - \frac{k_n}{k_0}\alpha_n$ ，即 $b$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性表示。唯一性：设存在两组不全为零的常数 $l_1, l_2, \cdots, l_n$ 和 $t_1, t_2, \cdots, t_n$ ，使得$$ b = l_1\alpha_1 + l_2\alpha_2 + \cdots + l_n\alpha_n \\ b = t_1\alpha_1 + t_2\alpha_2 + \cdots + t_n\alpha_n $$相减得 $(l_1 - t_1) \alpha_1 + (l_2 - t_2) \alpha_2 + \cdots (l_n - t_n) \alpha_n = 0$ 。$\because \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性无关，$\therefore l_1 = t_1, l_2 = t_2, \cdots, l_n = t_n$ 。因此向量 $b$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 唯一线性表示。若一个向量组线性无关，则该项两组的任何部分向量组都线性无关。若向量组有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关。例题：向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，向量组 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性相关。求 $\alpha_4$ 是否可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示。解：$\because \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，$\therefore \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关。$\because \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性相关，$\therefore$ 存在不全为零的常数 $k_2, k_3, k_4$ ，使得 $k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 + k_4\alpha4 = 0$ 。通过反证法可得 $k_4 \neq 0$ ，所以 $\alpha_4 = - \frac{k_2}{k_4}\alpha_2 - \frac{k_3}{k_4}\alpha_3$ ，即 $\alpha_4$ 可由 $\alpha_2, \alpha_3$ 线性表示。综上所述 $\alpha_4$ 可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$​ 线性表示。设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 为 $n$ 个 $n$ 维向量，则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性无关的充分必要条件是$$ |\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n| \neq 0 $$同样的，$\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性相关的充分必要条件是 $|\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n| = 0$ 。证明：令 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n)$ ，$X = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^T$ 。$\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性无关 $\Leftrightarrow AX = 0$ 仅有零解 $\Leftrightarrow r(A) = n \Leftrightarrow |A| \neq 0$ 。$\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性相关 $\Leftrightarrow AX = 0$ 有非零解 $\Leftrightarrow r(A) < n \Leftrightarrow |A| = 0$ 。例题：设向量 $\alpha_1 = \left [ \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right ] , \alpha_2 = \left [ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} \right ] ,\alpha_3 = \left [ \begin{matrix} 1 \\ a \\ a^2 \end{matrix} \right ]$ ，求这个向量组的相关性。解：$|\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3| = \left | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & a \\ 1 &4 & a^2 \end{matrix} \right | = 3(a + 1)(a - 2)$ ，因此当 $a \neq -1$ 且 $a \neq 2$ 时，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关；当 $\alpha = -1$ 或 $\alpha = 2$ 时，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关。设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 为 $n$ 个 $m$ 维向量，若 $m < n$ ，则向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 一定线性相关。约束条件比未知数少，一定有自由变量，即线性相关。(左右宽上下长)例题：设向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 为三个三维线性无关的向量，证明任意一个三维向量 $\beta$ 都可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 唯一线性表示。证：由题易知 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta$ 线性相关。又 $\because \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，$\therefore \beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 唯一线性表示。(性质2)设向量组 $\alpha_1', \alpha_2', \cdots , \alpha_n'$ 为向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 的扩充向量组 (即添加维数后的向量组) ，若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性无关，则向量组 $\alpha_1', \alpha_2', \cdots , \alpha_n'$ 线性无关，反之不对。加未知数个数提升相关性，加维数提升无关性。例题：设向量 $\alpha_1 = \left [ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right ] , \alpha_2 = \left [ \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right ] ,\alpha_3 = \left [ \begin{matrix} 3 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right ]$ ，求这个向量组的相关性。解：$\because \left | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right | = 1 \neq 0 \ , \ \therefore \left [ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right ] , \left [ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right ] ,\left [ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right ]$ 线性无关。$\therefore \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关。设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 为两两正交的非零向量组，则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$​ 线性无关，反之不对。证明：令 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n = 0$ 。由 $(\alpha_1, k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n) = 0$ 可知 $k_1(\alpha_1, \alpha_1) = 0$ 。$\because \alpha_1$ 为非零向量，$\therefore k_1 = 0$ 。同理可证明 $k_2 = k_3 = \cdots = k_{n-1} = 0$ 。代入 $k_1, \cdots k_{n-1}$ 可得 $k_n\alpha_n = 0$​ 。$\because \alpha_n$ 为非零向量，$\therefore k_n = 0$ 。综上所述，$\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性无关。设向量 $\alpha_1 = \left [ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right ] , \alpha_2 = \left [ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right ] ,\alpha_3 = \left [ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right ]$ 。$\because \left | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right | = 1 \neq 0 \ , \ \therefore \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关。又 $\because (\alpha_1, \alpha_2) = 1 \neq 0, \ (\alpha_1, \alpha_3) = 1 \neq 0, \ (\alpha_2, \alpha_3) = 2 \neq 0$ ，$\therefore \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性无关无法推出 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 两两正交。向量组等价定义设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_m$ 与 $\beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_n$ 是两个维数相同的向量组。若$$ \left \{ \tag{I} \begin{array}{c} \alpha_1 = k_{11}\beta_1 + k_{12} \beta_2 + \cdots + k_{1n} \beta_n \\ \alpha_2 = k_{21}\beta_1 + k_{22} \beta_2 + \cdots + k_{2n} \beta_n \\ \vdots \\ \alpha_m = k_{m1}\beta_1 + k_{m2} \beta_2 + \cdots + k_{mn} \beta_n \end{array} \right . $$称向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_m$ 可由向量组 $\beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_n$ 线性表示。若$$ \left \{ \tag{II} \begin{array}{c} \beta_1 = l_{11}\alpha_1 + l_{12} \alpha_2 + \cdots + l_{1m} \alpha_m \\ \beta_2 = l_{21}\alpha_1 + l_{22} \alpha_2 + \cdots + l_{2m} \alpha_m \\ \vdots \\ \beta_n = l_{n1}\alpha_1 + l_{n2} \alpha_2 + \cdots + l_{nm} \alpha_m \end{array} \right . $$称向量组 $\beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_n$ 可由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_m$ 线性表示。若 $\text{(I), (II)}$ 都成立，则称向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_m$ 与向量组 $\beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_n$ 等价。极大线性无关组与向量组的秩定义设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 为一组向量，若满足向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 中存在 $r$ 个向量线性无关；任意 $r + 1$ 个向量 (不一定存在) 一定线性相关。称 $r$ 个线性无关的向量为向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 的极大线性无关组 (简称极大组) ，极大线性无关组中所含向量的个数称为向量组的秩。可由其余向量线性表示的向量为向量组中的多余向量，求向量组的极大线性无关组本质上就是去掉多余向量的过程。矩阵的行秩和列秩设 $A = \left [ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_m \end{matrix} \right ] = (\beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_n)$ ，其中 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_m$ 与 $\beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_n$ 分别为矩阵 $A$ 的行向量组与列向量组，向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_m$ 的秩称为矩阵 $A$ 的行秩，向量组 $\beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_n$ 的秩称为矩阵 $A$ 的列秩。Notes：极大线性无关组不一定唯一。如 $\alpha_1 = \left [ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right ] , \alpha_2 = \left [ \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} \right ] ,\alpha_3 = \left [ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right ]$ ，显然该向量的极大线性无关组由两组，即 $\alpha_1, \alpha_3$ 和 $\alpha_2, \alpha_3$ 。一个向量组与其的极大线性无关组等价。证明：设 $\alpha_1, \alpha_2$ 为向量组 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_3$ 的极大线性无关组。$\because \left \{ \begin{array}{c} \alpha_1 = 1\alpha_1 + 0\alpha_2 + 0\alpha_3 \\ \alpha_2 = 0\alpha_1 + 1\alpha_2 + 0\alpha_3 \end{array} \right .$ ，$\therefore \alpha_1, \alpha_2$ 可由 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_3$ 线性表示。又 $\because \left \{ \begin{array}{c} \alpha_1 = 1\alpha_1 + 0\alpha_2 \\ \alpha_2 = 0\alpha_1 + 1\alpha_2 \\ \alpha_3 = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 \end{array} \right .$ ，$\therefore \alpha_1, \alpha_3, \alpha_3$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示。$\therefore \alpha_1, \alpha_2$ 与 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_3$ 等价。向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性无关的充分必要条件是 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 的秩为 $n$ ；向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性相关的充分必要条件是 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 的秩小于 $n$​ 。(重要定理)令向量组 $A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n \ ; \ B:\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n, b$ ，则向量组 $A, B$ 的秩有两种情形：向量组 $A$ 的秩等于向量组 $B$ 的秩，其充要条件是 $b$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性表示。向量组 $A$ 的秩比向量组 $B$ 的秩少 1 ，其充要条件是 $b$ 不可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$​ 线性表示。设 $A$ 为 $m \times n$ 阶矩阵， $B$ 为 $n \times s$ 阶矩阵，则$$ AB = A(\beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_s) = (A\beta_1, A\beta_2, \cdots , A\beta_s) $$向量组秩的性质矩阵的秩，矩阵的行秩和矩阵的列秩相等。(三秩相等) 设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 为一个向量组，$A = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n)$ ，有$\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性无关等价于 $r(A) = n$ ；$\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性相关等价于 $r(A) < n$ 。例题：设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，$\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2, \ \beta_2 = \alpha_2 + \alpha_3, \ \beta_3 = \alpha_3 + \alpha_1$ ，证明向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$​ 线性无关。证：令 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ ，可知 $r(A) = 3$ 。令 $B = (\beta_1, \beta_2, \beta_3) = A \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right ]$ 。$\because \left | \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right | = 2 \neq 0 \ , \ \therefore \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right ]$ 可逆。 $\therefore r(B) = r(A) = 3$ ，即 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$​ 线性无关。三秩相等使用场景：研究向量组的相关性，可以转换成矩阵的秩问题。已知矩阵，求其行向量或列向量的相关性。例题：设 $A$ 为 $m \times n$ 阶非零矩阵，$B$ 为 $n \times s$ 阶非零矩阵，$AB = O$ 。问 $A, B$ 行列的相关性。解：$\because A \neq O, \ B \neq O, \ \therefore r(A) \geq 1, \ r(B) \geq 1$ 。$\because AB = O, \ \therefore r(A) + r(B) \leq n$ 。$\therefore r(A) < n, \ r(B) < n$ ，即 $A$ 的列向量线性相关，$B$ 的行向量线性相关。设 $A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_m$ 与 $B: \beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_n$ 是两个维数相同的向量组，若向量组 $A$ 可由向量组 $B$ 线性表示，则向量组 $A$ 的秩不超过向量组 $B$ 的秩。证明：令 $\left \{ \begin{array}{c} \alpha_1 = k_{11}\beta_1 + k_{12} \beta_2 + \cdots + k_{1n} \beta_n \\ \alpha_2 = k_{21}\beta_1 + k_{22} \beta_2 + \cdots + k_{2n} \beta_n \\ \vdots \\ \alpha_m = k_{m1}\beta_1 + k_{m2} \beta_2 + \cdots + k_{mn} \beta_n \end{array} \right .$ ，则有$$ A = B \left [ \begin{matrix} k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1n} \\ k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{m1} & k_{m2} & \cdots & k_{mn} \\ \end{matrix} \right ] = BK $$而 $r(A) = r(BK) \leq r(B)$ ，即 $A$ 的秩不超过 $B$​ 的秩。例题：设 $A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_r$ 与 $B: \beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_s$ 是两个维数相同的向量组，$A$ 可由 $B$ 线性表示，且 $r > s$ 。证明：向量组 $A$ 线性相关。证：$\because A$ 可由 $B$ 线性表示，$\therefore r(A) < r(B)$​ 。而 $r(B) \leq s$ ，且 $r > s$ ，$\therefore r(A) < r$ ，即 向量组 $A$ 线性相关。等价的向量组秩相等，反之不对。证明：设向量组 $A, B$ 等价，则有 $r(A) \leq r(B), r(B) \leq r(A)$ ，即 $r(A = r(B))$ 。设 $A: \alpha_1 = \left [ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right ], \alpha_2 = \left [ \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right ] \ ; \ B: \beta_1 = \left [ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right ], \beta_2 = \left [ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \\ -1 \end{matrix} \right ]$ ，有 $r(A) = 2, r(B) = 2$ 。但显然 $A$ 不可由 $B$ 线性表示，$B$ 也不可由 $A$ 线性表示，即 $A, B$ 不等价。
基本概念矩阵：形如 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ 称为 $m \times n$ 矩阵，记为 $A = (a_{ij})_{m \times n}$​ 。矩阵是一个表格。若 $m = n$ ，则 $A$ 为一个方阵。若 $\forall a_{ij} = 0$ ，则 $A = 0$ ，即 $A$ 为一个零矩阵。同型矩阵：若矩阵 $A$ 和 $B$ 的行数和列数相同，则成矩阵 $A, B$ 为同型矩阵。矩阵相等：若矩阵 $A, B$ 为同型矩阵，且 $a_{ij} = b_{ij} (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n)$ ，则称矩阵 $A, B$ 相等，记为 $A = B$ 。伴随矩阵取 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right ]$ 为 $n$ 阶矩阵，记其中 $a_{ij}$ 的余子式为 $M_{ij}$ ，代数余子式为 $A_{ij}$ ，则称 $A^* = \left [ \begin{matrix} A_{11} & A_{21} & ... & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & ... & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & ... & A_{nn} \\ \end{matrix} \right ]$ 为矩阵 $A$​​​ 的伴随矩阵。伴随矩阵的性质：$AA^* = A^*A = |A|E$ ;$(A^T)^* = (A^*)^T$ ;$(kA)^* = k^{n - 1} A^*$ ;$(AB)^* = B^*A^*$ ;矩阵的运算及性质三则运算矩阵没有除法、矩阵加减设 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ , $B = \left [ \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & ... & b_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ ，则 $A \pm B = \left [ \begin{matrix} a_{11} \pm b_{11} & a_{12} \pm b_{12} & ... & a_{1n} \pm b_{1n} \\ a_{21} \pm b_{12} & a_{22} \pm b_{22} & ... & a_{2n} \pm b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} \pm b_{m1} & a_{m2} \pm b_{m2} & ... & a_{mn} \pm b_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ 。矩阵相乘数与矩阵相乘：$kA = \left [ \begin{matrix} ka_{11} & ka_{12} & ... & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & ... & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & ... & ka_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ 。矩阵内每个数都要乘，注意和行列式区分开。设 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ , $B = \left [ \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1s} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2s} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & ... & b_{ns} \\ \end{matrix} \right ]$ ，则 $AB = \left [ \begin{matrix} c_{11} & c_{12} & ... & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & ... & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & ... & c_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ ，其中 $c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ... + a_{in}b_{nj} \ (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., s)$​ 。两个矩阵内标相同可乘，结果矩阵的型由外标决定。注解：两个非零矩阵相乘结果可能为零矩阵。.令 $A = \left [ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right ]$ ，$B = \left [ \begin{matrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right ]$ ，显然两个矩阵都为非零矩阵。相乘得 $AB = \left [ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right ]$ 为零矩阵。$A \neq 0 \nRightarrow A^k \neq 0$​ 。令 $A = \left [ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right ]$ ，易知 $A^2 = \left [ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right ]$ ，为零矩阵。矩阵多项式可按照多项式方式进行因式分解。设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵， $f(x) = a_nx^n + ... + a_1x + a_0$ ，则称 $f(A) = a_nA^n + ... + a_1A + a_0E$ 为 $A$ 得矩阵多项式。解题过程中出现 $f(A)$ ，一般有以下方法：像多项式一样处理。如：$A^2 - A - 6E = (A + 2E)(A - 3E)$ 。特征值与特征向量问题中出现 $f(A)$ 时，一般使用定义，即令 $AX = \lambda X (X \neq 0)$ 得 $f(A)X = f(\lambda)X$ 。齐次线性方程组和非齐线性方程组可以分别表示为矩阵形式 $AX = 0$ 及 $AX = b$ 。称 $\left \{ \begin{array}{c} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = 0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = 0 \end{array} \right . \ (*)$ 为 $n$ 元齐次线性方程组；称 $\left \{ \begin{array}{c} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = b_m \end{array} \right . \ (**)$ 为 $n$ 元非齐线性方程组；令 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ ，$X = \left [ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right ]$ ，$b = \left [ \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{matrix} \right ]$ 。因为 $AX = \left \{ \begin{array}{c} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n \end{array} \right .$ ，所以 $AX = 0$ 等价于上述 $(*)$ ；$AX = b$ 等价于上述 $(**)$ 。矩阵乘法的模块化：右矩阵列化：令 $A_{m \times n}$ ， $B_{n \times s} = (\beta_1, \beta_2, ... , \beta_s)$ ，则有 $AB = A(\beta_1, \beta_2, ... , \beta_s) = (A\beta_1, A\beta_2, ... , A\beta_s)$ 。更一般地，有 $A(B \ \vdots \ C) = (AB \ \vdots \ AC)$ 。左矩阵列化：若将左矩阵列化，则右矩阵具体化。如： $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ ，$B = \left [ \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & -5 \\ -1 & 1 & 4 \end{matrix} \right ]$ ，则$$ AB = (\alpha_1 + 2\alpha_2 - \alpha_3, -2\alpha_1 + 3\alpha_2 + \alpha_3, \alpha_1 - 5\alpha_2 + 4\alpha_3) $$注意掌握逆向拆分，即将上面的等式右边的矩阵逆向写成左边矩阵相乘的形式。矩阵转置设 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ ，称 $\left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{21} & ... & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & ... & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ 为矩阵 $A$ 的转置，记为 $A^T$ 。矩阵转置的性质$(A^T)^T = A$ ;$(kA)^T = kA^T$ ;$(A \pm B)^T = A^T \pm B^T$ ;$(AB)^T = B^TA^T$​ ;$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ ;$(A^T)^m = (A^m)^T$ ;矩阵的初等变换方程组的同解变形：对调两个方程；某个方程两边同乘一个非零常数；某个方程的倍数加到另一个方程。矩阵的行也是对应的方程组中的一个方程，因此可以推出矩阵的初等变换：初等行变换：对调矩阵的两行；矩阵的某行乘以一个非零常数 $k$ ；矩阵某行的倍数加到另一行。初等列变换：对调矩阵的两列；矩阵的某列乘以一个非零常数 $k$ ；矩阵某列的倍数加到另一列。解方程组的时候禁止使用初等列变换三种初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。$E_{i, j}$ ：将单位矩阵 $E$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行对调 (或第 $i$ 列和第 $j$ 列对调) 所得到的矩阵。$E_{i}(c), (c \neq 0)$ ：将单位矩阵 $E$ 的第 $i$ 行 (或第 $i$ 列) 乘以非零常数 $c$ 所得到的矩阵。$E_{ij}(k)$ ：将单位矩阵 $E$ 的第 $j$ 行的 $k$ 倍加到 $i$ 行 (或将单位矩阵 $E$ 的第 $j$ 列的 $k$ 倍加到 $i$ 列) 所得到的矩阵。初等矩阵 $E_{i, j}$ 具有如下性质：$E_{i, j} A$ 本质上是对调矩阵 $A$ 的 $i, j$ 行，即第一种初等行变换；$AE_{i, j}$ 本质上是对调矩阵 $A$ 的 $i, j$ 列，即第一种初等列变换；$|E_{i, j}| = -1 \neq 0$ ，即 $E_{ij}$ 可逆；$(E_{i, j})^{-1} = E_{i, j}$ ；$(E_{i, j})^2 = E_{i, j}$ ；初等矩阵 $E_{i}(c), (c \neq 0)$​ 具有如下性质：$E_{i}(c)A$ 本质上是矩阵 $A$ 的第 $i$ 行乘以非零常数 $c$ ，即第二种初等行变换；$AE_{i}(c)$ 本质上是矩阵 $A$ 的第 $i$ 列乘以非零常数 $c$ ，即第二种初等列变换；$|E_{i}(c)| = c \neq 0$ ，即 $E_{i}(c)$ 可逆；$[E_{i}(c)]^{-1} = E_{i}(\frac{1}{c})$ ；初等矩阵 $E_{ij}(k)$​ 具有如下性质：$E_{ij}(k)A$ 本质上是矩阵 $A$ 的第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行，即第三种初等行变换；$AE_{ij}(k)$​ 本质上是矩阵 $A$​ 的第 $i$​ 列的 $k$​ 倍加到第 $j$​ 列，即第三种初等列变换；$|E_{ij}(k)| = 1 \neq 0$ ，即 $E_{ij}(k)$ 可逆；[$E_{ij}(k)]^{-1} = E_{ij}(-k)$​ ；Notes：$A$ 的三种初等行变换 $\Leftrightarrow$ $A$ 左乘三种初等矩阵，列变化则为右乘。方程组的三种同解变形 $\Leftrightarrow$ 矩阵的三种初等行变换 $\Leftrightarrow$ 矩阵 $A$ 左乘三种初等矩阵。三种初等矩阵的逆矩阵任然是同类型的初等矩阵。矩阵的初等行变换接替话的过程本质上是消元法的过程，即解方程组的过程。解方程组时矩阵不可进行初等列变换。设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $n \times s$ 矩阵，则 $(A \vdots AB) \xrightarrow{列} (A \vdots O)$ 。例：设 $A = [\alpha_1, \alpha_2], \ B = \left [ \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & -4 \end{matrix} \right ] , \ AB = [2\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 - 4\alpha_2]$ ，则$$ [A \vdots AB] = [\alpha_1, \alpha_2 \vdots 2\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 - 4\alpha_2] \xrightarrow{列} [A \vdots O] $$矩阵初等变换的相关定理设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $A$ 可通过初等行变换或初等列变换转换为单位矩阵 $E$​ 。$A$ 经过有限次初等行变换化为 $B$ 等价于存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $PA = B$ 。$A$ 经过有限次初等列变换化为 $C$ 等价于存在可逆矩阵 $Q$ ，使得 $AQ = C$ 。设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $A$ 可逆的充分必要条件是 $A$ 为若干个初等矩阵之积。证明：充分性：设 $A = Q_1Q_2 ... Q_t$ ，其中 $Q_1Q_2 ... Q_t$ 为初等矩阵。由此可知 $|A| = |Q_1Q_2 ... Q_t| = |Q_1||Q_2| ... |Q_t|$ 。$\because$​ 初等矩阵对应的行列式的值均不为 0 ；$\therefore$ 矩阵 $A$ 可逆。必要性：若 $A$ 可逆，则存在初等矩阵 $P_1, P_2, ..., P_s$ ，使得 $P_s...P_2P_1A = E$ ，即 $A = (P_s...P_2P_1)^{-1} = P_1^{-1}P_2^{-1}...P_s^{-1}$ 。$\because$ 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵；$\therefore$ $A$​ 可以表示为初等矩阵之积。设 $A$ 为 $m \times n$ 阶矩阵，$r(A) = r$ 且 $r < min\{m, n\}$ ，则 $A$ 可以经过有限次的初等变换化为 $\left [ \begin{matrix} E_r & O \\ O & O \end{matrix} \right ]$ ，即存在可逆矩阵 $P, Q$ ，使得 $PAQ = \left [ \begin{matrix} E_r & O \\ O & O \end{matrix} \right ]$​​ 。矩阵的初等行变换即压缩掉多余的行；矩阵的初等列变换即压缩掉多余的列。仅经过有限次初等行变换一般无法化为 $\left [ \begin{matrix} E_r & O \\ O & O \end{matrix} \right ]$ ，有限次初等列变换也不行。逆阵理论一元一次方程组衍生而来逆矩阵的定义设 $A$ 时 $n$ 阶矩阵，若存在 $n$ 阶矩阵 $B$ ，使得 $BA = E$ (或 $AB = E$ ) ,称矩阵 $A$ 可逆。矩阵 $B$ 称为矩阵 $A$ 的逆矩阵，记为 $B = A^{-1}$ 。定义法求逆矩阵设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，若 $A^2 + A - 2E = O$ ，求 $A^{-1}$ 。由 $A^2 + A - 2E = O$ 得 $A(A + E) = 2E$ ，即 $A \cdot \frac{1}{2} (A + E) = E$ ，由逆矩阵的定义得：$A^{-1} = \frac{1}{2} (A + E)$ 。逆矩阵的相关性质矩阵的行列式性质：$|A^T| = |A|$ ;$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ ;$|A^*| = |A|^{n - 1}$ ;$A$ 为 $n$ 阶矩阵， $k$ 为常数，则 $|kA| = k^n|A|$ ;$A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $|AB| = |A| \cdot |B|$ (拉普拉斯法则) 。逆矩阵的性质：$(A^{-1})^{-1} = A$ ;$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ ;$(A^{-1})^m = (A^m)^{-1}$ ;$(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$ ;$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$​ ;设 $A, B$ 分别为 $m$ 和 $n$ 阶可逆矩阵，则有：$\left [ \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right ] ^{-1} = \left [ \begin{matrix} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{matrix} \right ]$​ ; $\left [ \begin{matrix} O & A \\ B & O \end{matrix} \right ] ^{-1} = \left [ \begin{matrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{matrix} \right ]$ ;矩阵可逆的判别定理：设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，则 $A$ 可逆的充分必要条件是 $|A| \neq 0$​ 。(重要定理)证明如下：充分性：若 $|A| \neq 0$ ，由 $AA^* = |A|E$ 可得 $A \cdot \frac{1}{|A|}A^* = E$ ，由矩阵可逆得定义可知 $A$ 可逆，且 $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$ 。必要性：若 $A$ 可逆，则由矩阵可逆的定义可知：存在矩阵 $B$ ，使得 $BA = E$ 。两边取行列式得 $|BA| = 1$ ，再由拉普拉斯法则得 $|B| \cdot |A| = 1$ ，因此 $|A| \neq 0$ 。逆矩阵的求法伴随矩阵法由上面的证明可知，若 $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆，则 $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$ 。$n \leq 3$​ 的时候可以考虑使用该方法求解逆矩阵。Note：若 $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆，则有 $A^* = |A|A^{-1}$ 。 (重要考点)例题：若矩阵 $A, B$ 分别为 $n$ 阶可逆矩阵，求 $(AB)^*$ 。解：$(AB)^* = |AB| \cdot (AB)^{-1} = (|A| \cdot |B|)(B^{-1} \cdot A^{-1}) = B^*A^*$​ 。例题：若矩阵 $A, B$ 分别为 $n$ 阶可逆矩阵，求 $\left [ \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right ]^*$ 。解：$\left [ \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right ]^* = \left | \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right | \cdot \left [ \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right ]^{-1} = |A| \cdot |B| \cdot \left [ \begin{matrix} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} |B|A^{-1} & O \\ O & |A|B^{-1} \end{matrix} \right ]$ 。初等变换法定理：设 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，则 $[A \vdots E] \xrightarrow{行} [E \vdots A^{-1}]$ 。证明：因为矩阵 $A$ 可逆，所以存在初等矩阵 $P_1, P_2, \cdots , P_s$ ，使得 $A \xrightarrow{行} P_s \cdots P_2P_1A = E$ ，从而 $A^{-1} = P_s \cdots P_2P_1$ ，于是 $E \xrightarrow{行} P_s \cdots P_2P_1E = A^{-1}$ ，故 $[A \vdots E] \xrightarrow{行} [E \vdots A^{-1}]$ 。秩理论矩阵秩的概念设 $A$ 是 $m \times n$ 的矩阵，矩阵 $A$ 中任取 $r$ 行和 $r$ 列，元素按照原有次序排列构成的 $r$ 阶行列式，称为矩阵 $A$ 的 $r$ 阶子式，矩阵 $A$ 共有 $C_m^rC_n^r$ 个 $r$ 阶子式，若 $A$ 中至少有一个 $r$ 阶子式不为零，且所有 $r + 1$ 阶子式 (若存在) 皆为零，称 $r$ 为矩阵 $A$ 的秩，记为 $r(A) = r$​ 。方程组中，矩阵的秩本质上就是有效约束条件的数量。Notes：设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，由矩阵秩的定义得 $r(A) \leq m, r(A) \leq n$ ，即 $r(A) \leq min\{m, n\}$ 。设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，若 $|A| \neq 0$ ，由矩阵秩的定义得 $r(A) = n$ ，称 $A$ 为满秩矩阵；若 $|A| = 0$ ，由矩阵秩得定义得 $r(A) < n$ ，称 $A$ 为降秩矩阵。设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $A$ 满秩 $\Leftrightarrow$ $A$ 非奇异。设 $\alpha = \left [ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right ]$ ，则 $r(\alpha) \leq 1$ 。特别地，若 $\alpha = 0$ ，则 $r(\alpha) = 0$ ；若 $\alpha \neq 0$ ，则 $r(\alpha) = 1$ 。矩阵秩的求法在方程组中，矩阵的秩本质上为方程组中约束条件的个数，而方程组约束条件的个数即经过方程组三种同解变形阶梯化后留下的方程个数，故对矩阵进行初等行变换阶梯化后非零行数即为矩阵的秩。如：$$ A = \left [ \begin{matrix} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 & 4 \end{matrix} \right ] \rightarrow \left [ \begin{matrix} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \end{matrix} \right ] \rightarrow \left [ \begin{matrix} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right ] , \ \text{即} r(A) = 2 \ \text{。} $$Notes：$r(A) = 0$ 的充分必要条件是 $A = O$ 。$r(A) \geq 1$ 的充分必要条件是 $A \neq O$ 。$r(A) \geq 2$ 的充分必要条件是 $A$ 至少两行不成比例。矩阵秩的性质$r(A) = r(A^T) = r(A^TA) = r(AA^T)$ 。当题目中出现 $A^TA$ 或 $AA^T$ 时，一般使用该性质。设 $\alpha$ 为向量，则 $r(\alpha \alpha^T) = r(\alpha)$ 。当 $k \neq 0$ 时，$r(kA) = r(A)$​ 。例：设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，且 $A^TA = 0$ ，证明 $A = 0$ 。解：$\because r(A) = r(A^TA) = 0 ; \ \therefore A = 0$ 。$r(A) \ \text{或} \ r(B) \leq r(A \vdots B) \leq r(A) + r(B)$ ; $r(A) \ \text{或} \ r(B) \leq r(\genfrac{}{}{0pt}{1}{A}{B}) \leq r(A) + r(B)$​​ ; $r(\left [ \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right ]) = r(A) + r(B)$ 。设 $A, B$ 为同型矩阵，则 $r(A \pm B) \leq r(A) + r(B)$ 。当题目中出现 $A + B, \ A - B \ \text{或} \ r(A) + r(B)$​ 时，一般使用该性质。例题：设 $\alpha, \beta$ 为两个同型的列向量，$A = \alpha \alpha^T + \beta \beta^T$ ，证明 $r(A) \leq 2$ 。证明：易知 $r(\alpha\alpha^T) = r(\alpha) = 1, \ r(\beta\beta^T) = r(\beta) = 1$ ，因此 $r(A) \leq r(\alpha \alpha^T) + r(\beta \beta^T) = 2$ 。设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $n \times s$ 矩阵，则 $r(AB) \leq min\{r(A), r(B)\}$ 。当题目中出现 $r(A), r(B), r(AB)$​ 时一般使用该性质。例题：设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $n \times s$ 矩阵，证明 $r(A \vdots AB) = r(A)$ 。证明：易知 $r(A \vdots AB) \geq r(A)$ ，且 $r(A \vdots AB) = r[A(E \vdots B)] \leq r(A)$ ，所以 $r(A \vdots AB) = r(A)$ 。设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $n \times s$ 矩阵，且 $AB = O$ ，则 $r(A) + r(B) \leq n$ 。(重要性质)当题目中出现 $AB = O$ 时，一般使用该性质。例题：设 $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆，证明：$A$ 的逆矩阵唯一。证明：假设 $A$ 的逆矩阵不唯一，则存在不同的矩阵 $B, C$ ，满足 $AB = E, \ AC = E$ 。相减得 $AB - AC = O$ ，即 $A(B - C) = O$ 。由此可知 $r(A) + r(B - C) \leq n$ 。又由 $A$ 可逆知 $r(A) = n$ ，所以 $r(B - C) = 0$ ，即 $B = C$ ，与假设矛盾。因此 $A$​ 的逆矩阵唯一。例题：设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $A^2 + A - 2E = 0$ ，证明：$r(E - A) + r(2E + A) = n$ 。证明：$\because A^2 + A - 2E = 0 \Rightarrow (A - E)(A + 2E) = 0 \Rightarrow (E - A)(2E + A) = 0$ $\therefore r(E - A) + r(2E + A) \leq n$ 。又 $\because r(E - A) + r(2E + A) \geq r(3E) = n$ ，$\therefore r(E - A) + r(2E + A) = n$ 。设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$P, Q$ 分别为 $m$ 阶和 $n$ 阶的可逆矩阵，则$$ r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ) $$即初等变换不改变秩。证明：令 $B = PA$ ，可知 $r(B) = r(PA) \leq r(A)$ 。$\because P$ 可逆，$\therefore A = P^{-1}B$ ，由此可知 $r(A) = r(P^{-1}B) \leq r(B)$ 。综上可得 $r(A) = r(PA)$ 。同理可证 $r(A) = r(AQ)$ 。例题：设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $n \times s$ 矩阵，证明 $r(A \vdots AB) = r(A)$​ 。(另一种证明方法)$\because r(A \vdots AB) \xrightarrow{列} r(A \vdots O), \ \therefore r(A \vdots AB) = r(A)$ 。设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $r(A^*) = \left \{ \begin{array}{c} n, & r(A) = n; \\1, & r(A) = n - 1 \\ 0, & r(A) < n - 1 \end{array} \right .$ ，其中 $n \geq 2$ 。 证明：$\because r(A) = n, \ \therefore |A| \neq 0$ 。$\because AA^* = |A|E \Rightarrow |A| \cdot |A^*| = |A|^n$ ，且 $|A| \neq 0$ ；$\therefore |A^*| = |A|^{n - 1} \neq 0$ ，即 $r(A^*) = n$​ 。$\because r(A) = n - 1, \ \therefore |A| = 0$ 。$\because AA^* = |A|E = O, \ \therefore r(A) + r(A^*) \leq n$ ，即 $\therefore r(A^*) \leq 1$ 。$\because r(A) = n - 1, \ \therefore \exists M_{ij} \neq 0 \Rightarrow \exists A_{ij} \neq 0 \Rightarrow A^* \neq O \Rightarrow r(A^*) \geq 1$ $\therefore r(A^*) = 1$​ 。$\because r(A) < n - 1, \ \therefore \forall M_{ij} = 0 \Rightarrow \forall A_{ij} = 0$ 。$\therefore A^* = O$ ，即 $r(A^*) = 0$ 。矩阵等价定义设 $A, B$ 为同型矩阵，若 $A$ 经过有限次初等变换化为 $B$ ，则称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$​ 等价。判别法设 $A, B$ 为同型矩阵，则 $A, B$ 时等价矩阵得充分必要条件是 $r(A) = r(B)$​ 。 证明：待补充。
基本概念逆序：设 $i, j$ 是一堆不等的正整数，若 $i > j$ ，则称 $(i, j)$ 为一对逆序。逆序数：设 $i_1, i_2, ..., i_n$ 是 $1, 2, ... , n$ 的一个排列，该排列所含的逆序总数称为该排列的逆序数，记为 $\tau(i_1, i_2, ..., i_n)$ 。如 $\tau(421635) = 3 + 1 + 0 + 2 + 0 = 6$ 。行列式：由 $n^2$ 个数组成的下列记号：$$ \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | $$余子式和代数余子式：把行列式 $D = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | $ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列划掉，剩下的数按原先的排序构成的 $n - 1$ 阶行列式，称为元素 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$ 。令 $A_{ij} = (-1)^{i + j} M_{ij}$ ，则称 $A_{ij}$ 为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。定义法求行列式每行取一个不同列的数相乘，取 $n$ 次不同的组合；每种组合的正负号由其列标的逆序数决定，奇数为负，偶数为正；最后相加即为行列式的值。如：$$ \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix} \right | = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} $$例题：已知 $f(x) = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix} \right |$ ，求 $x^2$ 项的系数。特殊的行列式对角、上(下)三角行列式$$ \left | \begin{matrix} a_{11} & 0 & ... & 0 \\ 0 & a_{22} & ... & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | = \left | \begin{matrix} a_{11} & 0 & ... & 0 \\ a_{21} & a_{22} & ... & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | = a_{11}a_{22} ... a_{nn} $$范德蒙行列式形如 $V(a_1, a_2, ... , a_n) = \left | \begin{matrix} 1 & 1 & ... & 1 \\ a_{1} & a_{2} & ... & a_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1}^{n - 1} & a_{2}^{n - 1} & ... & a_{n}^{n - 1} \\ \end{matrix} \right | $ 的行列式称为范德蒙行列式，且$$ V(a_1, a_2, ... , a_n) = \prod_{1 \leq j < i \leq n} (a_i - a_j) $$上述公式可以通过行列式的定义解得。$V_n \neq 0$ 的充要条件是 $a_1, a_2, ... a_n$ 两两互不相等。分块行列式$$ \left | \begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \\ \end{matrix} \right | = \left | \begin{matrix} A & * \\ 0 & B \\ \end{matrix} \right | = \left | \begin{matrix} A & 0 \\ * & B \\ \end{matrix} \right | = |A| \cdot |B| $$行列式的计算两种主要思想：转化为上三角或下三角行列式。将行列式降阶。行列式的转化性质如无特殊说明，行列式的行具有的性质列也具有。行列式与其转置行列式相等，即 $D = D^T$ 。对调行列式中两行 (或两列) ，行列式改变符号。 (易错)行列式某行 (或列) 有公因子，则可以提出。反之可以将和行列式相乘的数放入行列式内任意一行 (或列) 。行列式某行或某列皆为两数之和时，可以拆分成两个行列式的和。$$ \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} + b_{i1} & a_{i2} + b_{i2} & ... & a_{in} + b_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | + \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{i1} & b_{i2} & ... & b_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | $$行列式某行 (或列) 的倍数加到另一行 (或列) ，行列式不变。行列式的降阶性质行列式等于行列式某行 (或列) 元素与其对应的代数余子式之积的和，即：$$ D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} \\ D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ... + a_{nj}A_{nj} $$行列式的某行 (或列) 与另一行 (或列) 对应元素的代数余子式之积的和为 0 ，即：$$ a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + ... + a_{in}A_{jn} = 0, \ (i \neq j) \\ a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + ... + a_{ni}A_{nj} = 0, \ (i \neq j) $$适用于某一行 (或列) 含有很多 0 的情况。伴随矩阵取 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right ]$ 为 $n$ 阶矩阵，记其中 $a_{ij}$ 的余子式为 $M_{ij}$ ，代数余子式为 $A_{ij}$ ，则称 $A^* = \left [ \begin{matrix} A_{11} & A_{21} & ... & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & ... & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & ... & A_{nn} \\ \end{matrix} \right ]$ 为矩阵 $A$ 的伴随矩阵。计算行列式时，若出现 $A_{ij}$ 或 $A^*$ ，一般使用如下性质：$|A^*| = |A|^{n - 1}$ ；$|A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in}$ ；注意这里是代数余子式，计算时需转化成余子式求解。$A^* = |A|A^{-1}$ (若 $A$ 可逆) 。克拉默法则$$ \begin{multline} \shoveleft \begin{aligned} \text{对线性方程组} \end{aligned} \end{multline} \left \{ \begin{array}{c} \tag{I} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = 0 \end{array} \right . $$$$ \begin{multline} \shoveleft \begin{aligned} \text{及} \end{aligned} \end{multline} \left \{ \begin{array}{c} \tag{II} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \end{array} \right . $$其中 $\text{(II)}$ 称为非齐线性方程组，$\text{(I)}$ 称为 $\text{(II)}$ 对应的齐次线性方程组或 $\text{(II)}$ 的导出方程组。令 $D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{vmatrix}, D_1 = \begin{vmatrix} b_{1} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ b_{2} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{vmatrix}, \cdots, D_n = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & ... & b_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & b_{n} \\ \end{vmatrix}$ 其中 $D$ 称为系数行列式，有方程组 $\text{(I)}$ 只有零解的充分必要条件是 $D \neq 0$ ；方程组 $\text{(I)}$ 有非零解 (或 $\text{(I)}$ 有无穷多个解) 的充分必要条件是 $D = 0$​ 。方程组 $\text{(II)}$ 有唯一解的充分必要条件是 $D \neq 0$ ，此时 $x_i = \frac{D_i}{D} \ (i = 1, 2, \cdots, n)$ ；当 $D = 0$ 时，方程组 $\text{(II)}$ 要么无解，要么有无穷多个解。Notes：只有当方程组中方程的个数与未知数的个数相等时才可以使用克拉默法则。当 $D \neq 0$ 时，非齐线性方程组有唯一解，可以使用克拉默法则求解。当 $D = 0$ 时，非齐线性方程组解的情况分为两种，但不能确定是哪种情况，这时不能用克拉默法则求解，需要进一步讨论方程组对应的矩阵的秩的情况。