Loading... ## 基本概念 - 逆序:设 $i, j$ 是一堆不等的正整数,若 $i > j$ ,则称 $(i, j)$ 为一对逆序。 - 逆序数:设 $i_1, i_2, ..., i_n$ 是 $1, 2, ... , n$ 的一个排列,该排列所含的逆序总数称为该排列的逆序数,记为 $\tau(i_1, i_2, ..., i_n)$ 。 如 $\tau(421635) = 3 + 1 + 0 + 2 + 0 = 6$ 。 - 行列式:由 $n^2$ 个数组成的下列记号: $$ \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | $$ - **余子式和代数余子式**:把行列式 $D = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | $ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列划掉,剩下的数按原先的排序构成的 $n - 1$ 阶行列式,称为元素 $a_{ij}$ 的**余子式**,记为 $M_{ij}$ 。令 $A_{ij} = (-1)^{i + j} M_{ij}$ ,则称 $A_{ij}$ 为元素 $a_{ij}$ 的**代数余子式**。 ### 定义法求行列式 每行取一个不同列的数相乘,取 $n$ 次不同的组合;每种组合的正负号由其列标的逆序数决定,奇数为负,偶数为正;最后相加即为行列式的值。如: $$ \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix} \right | = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} $$ > 例题:已知 $f(x) = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix} \right |$ ,求 $x^2$ 项的系数。 ## 特殊的行列式 ### 对角、上(下)三角行列式 $$ \left | \begin{matrix} a_{11} & 0 & ... & 0 \\ 0 & a_{22} & ... & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | = \left | \begin{matrix} a_{11} & 0 & ... & 0 \\ a_{21} & a_{22} & ... & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | = a_{11}a_{22} ... a_{nn} $$ ### 范德蒙行列式 形如 $V(a_1, a_2, ... , a_n) = \left | \begin{matrix} 1 & 1 & ... & 1 \\ a_{1} & a_{2} & ... & a_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1}^{n - 1} & a_{2}^{n - 1} & ... & a_{n}^{n - 1} \\ \end{matrix} \right | $ 的行列式称为范德蒙行列式,且 $$ V(a_1, a_2, ... , a_n) = \prod_{1 \leq j < i \leq n} (a_i - a_j) $$ 上述公式可以通过行列式的定义解得。 > $V_n \neq 0$ 的充要条件是 $a_1, a_2, ... a_n$ 两两互不相等。 ### 分块行列式 $$ \left | \begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \\ \end{matrix} \right | = \left | \begin{matrix} A & * \\ 0 & B \\ \end{matrix} \right | = \left | \begin{matrix} A & 0 \\ * & B \\ \end{matrix} \right | = |A| \cdot |B| $$ ## 行列式的计算 两种主要思想: 1. 转化为上三角或下三角行列式。 2. 将行列式降阶。 ### 行列式的转化性质 > 如无特殊说明,行列式的行具有的性质列也具有。 1. 行列式与其转置行列式相等,即 $D = D^T$ 。 2. **对调行列式中两行 (或两列) ,行列式改变符号。** (易错) 3. 行列式某行 (或列) 有公因子,则可以提出。 反之可以将和行列式相乘的数放入行列式内任意一行 (或列) 。 4. 行列式某行或某列皆为两数之和时,可以拆分成两个行列式的和。 $$ \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} + b_{i1} & a_{i2} + b_{i2} & ... & a_{in} + b_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | + \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{i1} & b_{i2} & ... & b_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right | $$ 5. **行列式某行 (或列) 的倍数加到另一行 (或列) ,行列式不变。** ### 行列式的降阶性质 1. 行列式等于行列式某行 (或列) 元素与其对应的代数余子式之积的和,即: $$ D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} \\ D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ... + a_{nj}A_{nj} $$ 2. 行列式的某行 (或列) 与另一行 (或列) 对应元素的代数余子式之积的和为 0 ,即: $$ a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + ... + a_{in}A_{jn} = 0, \ (i \neq j) \\ a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + ... + a_{ni}A_{nj} = 0, \ (i \neq j) $$ 适用于某一行 (或列) 含有很多 0 的情况。 ### 伴随矩阵 > 取 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right ]$ 为 $n$ 阶矩阵,记其中 $a_{ij}$ 的余子式为 $M_{ij}$ ,代数余子式为 $A_{ij}$ ,则称 $A^* = \left [ \begin{matrix} A_{11} & A_{21} & ... & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & ... & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & ... & A_{nn} \\ \end{matrix} \right ]$ 为矩阵 $A$ 的**伴随矩阵**。 计算行列式时,若出现 $A_{ij}$ 或 $A^*$ ,一般使用如下性质: 1. $|A^*| = |A|^{n - 1}$ ; 2. $|A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in}$ ; 注意这里是**代数余子式**,计算时需转化成余子式求解。 3. $A^* = |A|A^{-1}$ (若 $A$ 可逆) 。 ## 克拉默法则 $$ \begin{multline} \shoveleft \begin{aligned} \text{对线性方程组} \end{aligned} \end{multline} \left \{ \begin{array}{c} \tag{I} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = 0 \end{array} \right . $$ $$ \begin{multline} \shoveleft \begin{aligned} \text{及} \end{aligned} \end{multline} \left \{ \begin{array}{c} \tag{II} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \end{array} \right . $$ 其中 $\text{(II)}$ 称为非齐线性方程组,$\text{(I)}$ 称为 $\text{(II)}$ 对应的齐次线性方程组或 $\text{(II)}$ 的导出方程组。 令 $D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{vmatrix}, D_1 = \begin{vmatrix} b_{1} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ b_{2} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{vmatrix}, \cdots, D_n = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & ... & b_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & b_{n} \\ \end{vmatrix}$ 其中 $D$ 称为系数行列式,有 1. 方程组 $\text{(I)}$ 只有零解的**充分必要**条件是 $D \neq 0$ ; 方程组 $\text{(I)}$ 有非零解 (或 $\text{(I)}$ 有无穷多个解) 的**充分必要**条件是 $D = 0$ 。 2. 方程组 $\text{(II)}$ 有为一街的充分必要条件是 $D \neq 0$ ,此时 $x_i = \frac{D_i}{D} \ (i = 1, 2, \cdots, n)$ ; 当 $D = 0$ 时,方程组 $\text{(II)}$ 要么无解,要么有无穷多个解。 **Notes:** 1. 只有当方程组中方程的个数与未知数的**个数相等**时才可以使用克拉默法则。 2. 当 $D \neq 0$ 时,非齐线性方程组有唯一解,可以使用克拉默法则求解。 3. 当 $D = 0$ 时,非齐线性方程组解的情况分为两种,但不能确定是哪种情况,这时不能用克拉默法则求解,需要进一步讨论方程组对应的矩阵的秩的情况。 最后修改:2024 年 09 月 23 日 © 允许规范转载 赞 如果觉得我的文章对你有用,请随意赞赏