Loading... ## 基本概念 ### 二次型 含 $n$ 个变量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 且**每项都是 2 次的齐次多项式** $$ f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \cdots + a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{22}x_2x_3 + \cdots + 2a_{n-1}x_{n-1, n}x_n $$ 称为二次型。若令 $a_{ij} = a_{ji} (i, j = 1, 2, \cdots, n)$ ，则二次型的矩阵形式为 $$ f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = X^TAX $$ 其中 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ], X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$ 。 ### 标准二次型 **只含有平方项**不含交叉项的二次型称为**标准二次型**。相对的，同时含有平方项和交叉项的二次型称为**非标准二次型**。 - 二次型 $X^TAX$ 为**标准二次型**的**充分必要**条件是 $A$ 为对角矩阵。 - 二次型 $X^TAX$ 为**非标准二次型**的**充分必要**条件是 $A^T = A$ 但 $A$ 为非对角矩阵。 ### 规范二次型 系数为 1 和 -1 的**标准型**，称为二次型的**规范形**。 - 二次型的规范形是**唯一**的。 ### 二次型的标准化 设 $f(X) = X^TAX$ 为一个二次型，经过**可逆的线性变换** $X = PY$ (即 $P$ 为可逆矩阵) 把二次型 $f(X) = X^TAX$ 化为 $$ f(X) = X^TAX \xlongequal{X = PY} Y^T(P^TAP)Y = l_1y_1^2 + l_2y_2^2 + \cdots + l_ny_n^2 $$ 称为**二次型的标准化**。 二次型 $X^TAX$ 的标准化的过程即**实对称矩阵 $A$ 对角化**的过程，二次型标准化过程必须遵循**两点原则**： 1. 线性变换 $X = PY$ 中的矩阵 $P$ 一定为**可逆矩阵**。 2. $P^TAP$ 为**对角矩阵**。 ### 矩阵合同 设 $A, B$ 为 $n$ 阶**实对称矩阵**，若存在**可逆矩阵** $P$ ，使得 $P^TAP = B$ ，称矩阵 $A$ 与 $B$ **合同**，记为 $A \simeq B$ 。 - 经过可逆线性变换的二次型的矩阵与原矩阵之间合同。 - 矩阵合同具有反身性 ($A \simeq A$) ，对称性 ($A \simeq B \Rightarrow B \simeq A$) ，传递性 ($A \simeq B, B \simeq C \Rightarrow A \simeq C$) 。 **判别法：** 设 $A, B$ 为**实对称矩阵**，则 $A \simeq B$ 的**充分必要**条件是 $A, B$ 的特征值中正，负及零的**个数相同**。 ## 基本定理 1. **标准型定理**：任何二次型 $f(X) = X^TAX$ 总可以通过可逆的线性变换 $X = PY$ (其中 $P$ 为可逆矩阵) 化为标准型，即 $$ f(X) = X^TAX \xlongequal{X = PY} Y^T(P^TAP)Y = l_1y_1^2 + l_2y_2^2 + \cdots + l_ny_n^2 $$ 2. **惯性定理**：二次型的标准型的系数中正，负系数的**个数保持不变**，分别称为二次型的正，负**惯性指数**。 3. **矩阵合同定理**：设 $A, B$ 为**实对称矩阵**，则 $A \simeq B$ 的**充分必要**条件是 $A, B$ 的特征值中正，负及零的**个数相同**。 **Note：** 实对称矩阵 $A, B$ 相似，则一定合同，但合同不一定相似。 - 若 $A \sim B$ ，则 $A, B$ 特征值相同，从而有相同的正负惯性指数，所以 $A \simeq B$ 。(实对称矩阵相似的充分必要条件是特征值相同) - 若 $A \simeq B$ ，则 $A, B$ 只是正负惯性指数相同，但无法推出 $A, B$ 的特征值相同。 ## 二次型标准化方法 ### 配方法 通过配方的方法把二次型化为若干部分的平方和与差，然后进行变换。 > 例题：设 $f(x_1, x_2) = 5x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2$ ，用配方法将其化为标准型。 解：令 $X^TAX = f(x_1, x_2)$ ，则有 $A = \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ 。 将 $f(x_1, x_2)$ 配方得 $f(x_1, x_2) = 4x_1^2 + (x_1 - x_2)^2$ 令 $\left \{ \begin{align} & x_1 = y_1 \\ & x_1 - x_2 = y_2 \end{align} \right .$ ，即 $\left \{ \begin{align} & x_1 = y_1 \\ & x_2 = y_1 - y_2 \end{align} \right .$ ，或 $X = PY$ ，其中 $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, Y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}$ ，显然 $P$ 可逆。 做可逆线性变换 $X = PY$ ，则 $$ f(x_1, x_2) = X^TAX \xlongequal{X=PY} Y^T(P^TAP)Y = 4y_1^2 + y_2^2 $$ ### 正交变换法 在可逆线性变换 $X = QY$ 中，$Q$ 是正交矩阵，且经过变换 $X = QY$ 可把二次型化为标准型。 **基本步骤：** 1. 由 $|\lambda E - A| = 0$ 求出矩阵 $A$ 的**特征值** $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 。 2. 求出方程组 $(\lambda_iE - A)X = 0 (i = 1, 2, \cdots, n)$ (重复特征值只代入一次) 的**基础解系**，从而得到矩阵 $A$ 的线性无关的特征向量 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 。 3. 将 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 进行**施密特正交化和规范化** (正交化**只在重特征值**对应的线性无关的特征向量内部进行，不同特征值对应的特征向量之间不需要进行正交化) ，得到矩阵 $A$ 的两两正交的特征向量 $\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_n$ ； 4. 令 $Q = (\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_n)$ ，则 $Q$ 为**正交矩阵**，且 $Q^TAQ = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix}$ ； 5. 作**正交变换** $X = QY$ ，则 $$ f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = X^TAX \xlongequal{X = QY} Y^T(Q^TAQ)Y = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \cdots + \lambda_ny_n^2 $$ > 例题：设 $f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3$ ，用正交变换法将其化为标准型。 解：令 $f(x_1, x_2, x_3) = X^TAX$ ，则 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$ 。 $|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & -1 \\ -1 & \lambda & -1 \\ -1 & -1 & \lambda \end{vmatrix} = 0$ ，解得 $(\lambda - 2)(\lambda + 1)^2 = 0$ ，即 $\lambda_1 = \lambda_2 = -1, \lambda_3 = 2$ 。 代入 $\lambda = -1$ 得 $E + A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ ，解得特征向量 $\alpha_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \alpha_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ 。 代入 $\lambda = 2$ 得 $2E - A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ ，解得特征向量 $\alpha_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 。 施密特正交化： $\beta_1 = \alpha_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \beta_2 = \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \beta_3 = \alpha_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 。 规范化：$\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \gamma_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ ，且 $A\gamma_1 = -\gamma_1, A\gamma_2 = -\gamma_2, A\gamma_3 = 2\gamma_3$ 。 令 $Q = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}$ ，则 $Q^TQ = E, Q^TAQ = \begin{bmatrix} -1 \\ & -1 \\ & & 2 \end{bmatrix}$ 。 作正交变换 $X = QY$ ，得 $$ f(x_1, x_2, x_3) = X^TAX \xlongequal{X = QY} Y^T(Q^TAQ)Y = -y_1^2 - y_2^2 + 2y_3^2 $$ **Notes：** 1. 正交变换法化二次型为标准二次型时，标准型的系数一定为矩阵 $A$ 的特征值。 2. 配方法化二次型为标准二次型时，标准型的系数不一定为矩阵 $A$ 的特征值，即二次型的标准型不唯一，但其系数中正负系数的个数是唯一的。 3. 正交变换保持向量的长度不变，即若 $Q$ 是正交矩阵，且 $X = QY$ ，则 $|X| = |Y|$ 。 **证明**：$\because |X|^2 = X^TX = (QY)^T(QY) = Y^T(Q^TQ)Y = Y^TY = |Y|^2, \ \therefore |X| = |Y|$ 。 ## 正定矩阵与正定二次型 **例子：** $f(x_1, x_2) = 3x_1^2 + 2x_2^2 = X^TAX$ 有如下特点： 1. 对任意的 $x_1, x_2$ ，有 $f(x_1, x_2) \geq 0$ ； 2. $f(x_1, x_2) = 0$ 当且仅当 $x_1 = x_2 = 0$ ，或对任意的 $X \neq 0$ ，有 $X^TAX > 0$ 。 $f(x_1, x_2) = 3x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = X^TAX$ 有如下特点： 1. 对任意的 $x_1, x_2$ ，有 $f(x_1, x_2) \geq 0$ ； 2. $f(x_1, x_2) = 0$ 当且仅当 $x_1 = x_2 = 0$ ，或对任意的 $X \neq 0$ ，有 $X^TAX > 0$ 。 ### 正定二次型 对二次型 $f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = X^TAX$ ，若对任意的 $X \neq 0$ ，总有 $X^TAX > 0$ ，称 $X^TAX$ 为**正定二次型**，$A$ 为**正定矩阵**。 > 永远大于等于 0 的二次型 ### 正定二次型的判别 #### 定义法 若 $A, B$ 都是正定矩阵，则 $A + B$ 为正定矩阵。 **证明**：对于任意的 $X \neq 0$ ，有 $X^T(A + B)X = X^TAX + X^TBX$ 。 $\because A, B$ 都是正定矩阵，$\therefore X^TAX > 0, X^TBX > 0$ ，即 $A + B$ 为正定矩阵。 #### 特征值法 设 $A^T = A$ ，则 $A$ 为正定矩阵的**充分必要**条件是 $A$ 的特征值全为正数。 > 例题：设 $A$ 为正定矩阵，证明 $A^{-1}$ 也为正定矩阵。 证：$\because A$ 为正定矩阵，$\therefore A$ 的特征值全为正数，即 $\lambda_1 > 0, \cdots, \lambda_n > 0$ 。 $\because A^{-1}$ 的特征值为 $\frac{1}{\lambda_1} > 0, \cdots, \frac{1}{\lambda_n} > 0, \ \therefore A^{-1}$ 为正定矩阵。 > 例题：设 $A$ 为 $n$ 维正定矩阵，证明 $|A + E| > 1$ 。 证：$\because A$ 为正定矩阵，$\therefore A$ 的特征值全为正数，即 $\lambda_1 > 0, \cdots, \lambda_n > 0$ 。 $\because A + E$ 的特征值为 $\lambda_1 + 1 > 0, \cdots, \lambda_n + 1 > 0$ $\therefore |A + E| = (\lambda_1 + 1) \cdots (\lambda_n + 1) > 1$ 。 #### 顺序主子式法 二次型 $X^TAX$ 为正定二次型的充分必要条件是 $A$ 的顺序主子式都大于零，即 $$ a_{11} > 0, \ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} > 0, \cdots, |A| > 0 $$ #### 补充 1. 设 $A^T = A$ ，则 $A$ 为正定矩阵的**充分必要**条件是存在可逆矩阵 $B$ ，使得 $A = B^TB$ 。 2. 设 $A^T = A$ ，则 $A$ 为正定矩阵的**充分必要**条件是 $A$ 与 $E$ **合同**。 3. 设 $A^T = A$ ，则 $A$ 为正定矩阵的**充分必要**条件是 $A$ 的**正惯性指数**为 $n$ 。 4. 设 $A, B$ 分别为 $m$ 阶和 $n$ 阶实对称矩阵，则 $\begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix}$ 为正定矩阵的**充分必要**条件是 $A, B$ **都是正定矩阵**。 最后修改：2024 年 09 月 20 日 © 允许规范转载 赞 1 如果觉得我的文章对你有用，请随意赞赏