Loading... ## 基本概念 ### 二次型 在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，且每一项次数都是 2 的多项式，称为**二次型**。二次型分为两种类型：**非标准二次型**及**标准二次型**。 - 标准二次型：每一项都只有单个未知数的二次型。 > 例题：设 $f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + x_2^2 - 3x_3^2$ 为标准二次型，将其矩阵化。 解：令 $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}, \ X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$ ，则 $f(x_1, x_2, x_3) = X^TAX$ 。 - 非标准二次型：存在含有不同未知数项的二次型。 > 例题：设 $f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 - x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_2 - 4 x_2x_3$ 为非标准二次型，将其矩阵化。 解：令 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & 3 \end{bmatrix}, \ X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$ ，则 $f(x_1, x_2, x_3) = X^TAX$ 。 **Notes：** 1. 二次型 $X^TAX$ 为**非标准二次型**的**充分必要**条件是 $A^T = A$ 但 $A$ 为非对角矩阵。 2. 二次型 $X^TAX$ 为**标准二次型**的**充分必要**条件是 $A$ 为对角矩阵。 将非标准二次型 $X^TAX$ 化为标准二次型等价于将矩阵 $A$ **对角化**。特征值与特征向量的理论即矩阵对角化理论。 ### 特征值与特征向量 设 $A$ 为 **$n$ 阶矩阵**，若存在常数 $\lambda$ 及 $n$ 维**非零**列向量 $\alpha$ ，使得 $$ A\alpha = \lambda \alpha $$ 则称 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的**特征值**， $\alpha$ 为矩阵 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的**特征向量**。 > 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，如何求 $\lambda$ ？ 解：$ \because A\alpha = \lambda \alpha \Leftrightarrow (\lambda E - A)\alpha = 0$ ，且 $\alpha \neq 0$ ； $\therefore (\lambda E - A)X = 0$ 有非零解，即 $r(\lambda E - A) < n$ 。 $\therefore |\lambda E - A| = 0$ 。 即 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值等价于 $|\lambda E - A| = 0$ ； **Notes：** 1. $\lambda$ 不一定为实数。 如：$A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ ，则 $|\lambda E - A| = \begin{bmatrix} \lambda - 2 & 2 \\ -1 & \lambda \end{bmatrix} = \lambda^2 - 2 \lambda + 2 = 0$ ，解得 $\lambda = 1 \pm i$ 。 2. 设 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ ，则 $a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$ 称为矩阵 $A$ 的**迹**，记为 $tr(A)$ 。 ### 特征方程 设 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ ，称 $|\lambda E - A| = 0$ 为矩阵 $A$ 的**特征方程**。 > 已知特征值 $\lambda_0$ ，如何求对应的特征向量？ 解：$\because |\lambda E - A| = 0, \ \therefore $ 齐次线性方程组 $(\lambda E - A)X = 0$ 有非零解， 从而 $\lambda_0$ 对应的特征向量为 $(\lambda_0 E - A)X = 0$ 的非零解。 **Notes：** 1. 设 $n$ 阶矩阵的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ ，则有： - $\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} = tr(A)$ ； - $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n = |A|$ 。 - $r(A) = n$ 的**充分必要**条件是 $\lambda_1 \neq 0, \lambda_2 \neq 0, \cdots \lambda_n \neq 0$ 。 即 $r(A) = n \Leftrightarrow |A| \neq 0 \Leftrightarrow \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n \neq 0$ - $r(A) < n$ 的**充分必要**条件是 $A$ 有特征值 0 。 即 $r(A) < n \Leftrightarrow |A| = 0 \Leftrightarrow \exists \lambda = 0$ 。 > 例题：设 $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ ，求 $A$ 的特征值及其对应的线性无关的特征向量。 解：由 $|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda - 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda - 1 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda - 1 \end{vmatrix} = (\lambda + 1)(\lambda - 2)^2 = 0$ 得 $A$ 的特征值为 $\lambda_1 = -1, \lambda_2, \lambda_3$ = 2 。 1. 代入 $\lambda = -1$ ，得 $-E - A \rightarrow E + A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ ，即 $\lambda_1 = -1$ 对应的线性无关的特征向量为 $\alpha_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 。 2. 代入 $\lambda = 2$ ，得 $2E - A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ ，即 $\lambda_2 = \lambda_3 = 2$ 对应得线性无关得特征向量为 $\alpha_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \ \alpha_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ 。 ### 矩阵相似 设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP = B$ ，称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ **相似**，记为 $A \sim B$ 。 若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP = \Lambda$ ，其中 $\Lambda$ 为对角矩阵，则称 $A$ 可以**相似对角化**。 **Notes：** 1. 若 $A \sim B$ ，则 $r(A) = r(B)$ ，**反之不对**。 2. 若 $A \sim B$ ，则 $|\lambda E - A| = |\lambda E - B|$ ，即特征值相同，**反之不对**。(**重要定理**) 证明： - 由 $P^{-1}AP = B$ 可知： $$ |\lambda E - B| = |\lambda P^{-1}P - P^{-1}AP| = |P^{-1}| \cdot |\lambda E - A| \cdot |P| = |\lambda E - A| $$ - 设 $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ ，$B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ ，显然 $|\lambda E - A| = |\lambda E - B|$ 。 $\because r(A) = 1 \neq r(B) = 3, \ \therefore A \not\sim B$ 。 3. 若 $A \sim B$ ，则 $tr(A) = tr(B), \ |A| = |B|$ 。 4. 设 $A \sim B$ ，则 - $A^T \sim B^T$ 。 证明：$\because A \sim B, \ \therefore $ 存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP = B$ 。 两边转置得 $[(P^T)^{-1}]^{-1}A^T(P^T)^{-1} = B^T$ 。 取 $P_1 = (P^T)^{-1}$ ，则有 $P_1^{-1}A^TP_1 = B^T$ ，即 $A^T \sim B^T$ 。 - 若 $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$ ，则 $f(A) \sim f(B) $ 。 证明：由 $P^{-1}AP = B$ 可知： $$ \begin{align} P^{-1}f(A)P &= a_nP^{-1}A^nP + a_{n-1}P^{-1}A^{n-1}P + \cdots + a_1P^{-1}AP + a_0E \\ &= a_nB^n + a_{n-1}B^{n-1} + \cdots + a_1B + a_0E = f(B) \end{align} $$ 即 $f(A) \sim f(B)$ 。 - 若 $A, B$ 可逆，则 $A^{-1} \sim B^{-1}, \ A^* \sim B^*$ 。 证明：$\because A \sim B$ ，$\therefore$ 存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP = B$ 。 $\because A, B$ 可逆，$\therefore (P^{-1}AP)^{-1} = P^{-1}A^{-1}P = B^{-1}$ ，即 $A^{-1} \sim B^{-1}$ 。 $\because A \sim B, \ \therefore |A| = |B|$ 。 $\because A^* = |A|A^{-1}, B^* = |B|B^{-1}$ ，且 $A^{-1} \sim B^{-1}$ ， $\therefore P^{-1}A^*P = |A|P^{-1}A^{-1}P = |B|B^{-1} = B^*$ ，即 $A^* \sim B^*$ 。 ### 对称矩阵 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，若其转置矩阵与自身相等，即 $A = A^T$ ，称矩阵 $A$ 为**对称矩阵**。 若矩阵 $A$ 中的每一个元素都为实数，则称矩阵 $A$ 为**实对称矩阵**。 ### 施密特正交化 把一组线性无关的向量组转化为一组**两两正交且规范**的向量组 (正交规范组) 的过程称为**施密特正交化**。 设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关，施密特正交化的过程分为两个步骤： 1. 正交化：令 $$ \begin{align} \beta_1 &= \alpha_1, \ \beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1, \cdots, \\ \beta_n &= \alpha_n - \frac{(\alpha_n, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 - \frac{(\alpha_n, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)}\beta_2 - \cdots - \frac{(\alpha_n, \beta_{n-1})}{(\beta_{n-1}, \beta_{n-1})}\beta_{n-1} \end{align} $$ 则 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 两两正交。 2. 规范化 (或单位化) ： 令 $\gamma_1 = \frac{1}{|\beta_1|}\beta_1, \gamma_2 = \frac{1}{|\beta_2|}\beta_2, \cdots, \frac{1}{|\beta_n|}\beta_n$ ，则 $\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_n$ 为两两正交且规范的向量组。 例如：$\alpha_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \alpha_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \alpha_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 线性无关，令 $$ \begin{align} \beta_1 &= \alpha_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} , \ \beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} , \\ \beta_3 &= \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)}\beta_2 = \frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \end{align} $$ 再令 $\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \gamma_2 = \frac{\sqrt{6}}{6}\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}, \gamma_3 = \frac{\sqrt{3}}{3}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ ，则 $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ 为两两正交且规范的向量组。 ### 正交矩阵 设 $Q$ 为 $n$ 阶矩阵，若 $Q^TQ = E$ (或 $QQ^T = E$) ，称 $Q$ 为**正交矩阵**。 **Notes：** 1. 若 $Q$ 为正交矩阵，则 $Q^{-1} = Q^T$ 。 2. 设 $Q = (\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_n)$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $Q$ 为正交矩阵的**充分必要**条件是 $\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_n$ 为**两两正交的规范向量组**。 **证明：** $\because Q^TQ = \begin{bmatrix} \gamma_1^T \\ \gamma_2^T \\ \vdots \\ \gamma_n^T \end{bmatrix} (\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_n) = \begin{bmatrix} \gamma_1^T\gamma_1 & \gamma_1^T\gamma_2 & \cdots & \gamma_1^T\gamma_n \\ \gamma_2^T\gamma_1 & \gamma_2^T\gamma_2 & \cdots & \gamma_2^T\gamma_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \gamma_n^T\gamma_1 & \gamma_n^T\gamma_2 & \cdots & \gamma_n^T\gamma_n \end{bmatrix} = E$ ， $\therefore \left \{ \begin{align} \gamma_1^T\gamma_1 &= \gamma_2^T\gamma_2 = \cdots = \gamma_n^T\gamma_n = 1 \\ \gamma_i^T\gamma_j &= 0 \quad (i \neq j) \end{align} \right .$ ，即 $\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_n$ 为两两正交的规范向量组。 3. 若 $Q$ 为正交矩阵，则 $|Q| = \pm 1$ 。 **证明：** 已知 $Q^TQ = E$ ，两边取模得 $|Q^TQ| = |E| \Rightarrow |Q^T| \cdot |Q| = 1 \Rightarrow |Q|^2 = 1$ ，即 $|Q| = \pm 1$ 。 4. 若 $Q$ 为正交矩阵， $Q$ 的特征值为 $1$ 或 $-1$ 。 **证明：** 令 $QX = \lambda X \ (X \neq 0)$ ，两边转置得 $X^TQ^T = \lambda X^T$ 。 两边右乘 $QX$ ，得 $X^TQ^TQX = \lambda X^TQX$ ，即 $(\lambda^2 - 1)X^TX = 0$ 。 $\because X^TX = |X|^2 > 0, \ \therefore \lambda^2 - 1 = 0$ ，即 $\lambda = \pm 1$ 。 5. 若 $Q$ 为正交矩阵，且 $Y = QX$ (其中 $X, Y$ 为向量) ，则 $|Y| = |X|$ 。 ## 特征值与特征向量的性质 ### 一般性质 1. 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $A$ 的不同特征值对应的特征向量**线性无关**。(**重要性质**) **证明**：设 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 为 $A$ 的两个不同的特征值，$\lambda_1$ 对应的线性无关的特征向量为 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ ，特征值 $\lambda_2$ 对应的线性无关的特征向量为 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_s$ 。令 $$ \begin{equation} \tag{1} k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_r\xi_r + l_1\eta_1 + l_2\eta_2 + \cdots + l_s\eta_s = 0 \end{equation} $$ 易知 $A\xi_1 = \lambda_1\xi_1, A\xi_2 = \lambda_1\xi_2, \cdots, A\xi_r = \lambda_1\xi_r$ ，$A\eta_1 = \lambda_2\eta_1, A\eta_2 = \lambda_2\eta_2, \cdots, A\eta_s = \lambda_2\eta_s$ ， 将 $\text{(1)}$ 两边左乘 $A$ 得 $$ \begin{equation} \tag{2} \lambda_1 (k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_r\xi_r) + \lambda_2 (l_1\eta_1 + l_2\eta_2 + \cdots + l_s\eta_s) = 0 \end{equation} $$ 由 $\text{(2)} - \lambda_2\text{(1)}$ 得 $$ \begin{equation} (\lambda_1 - \lambda_2)(k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_r\xi_r) = 0 \end{equation} $$ $\because \xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 线性无关，且 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ ，$\therefore k_1 = k_2 = \cdots = k_r = 0$ 。 将 $k_1, k_2, \cdots k_r$ 代入 $\text{(1)}$ ，得 $$ \begin{equation} l_1\eta_1 + l_2\eta_2 + \cdots + l_s\eta_s = 0 \end{equation} $$ $\because \eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_s$ 线性无关，$\therefore l_1 = l_2 = \cdots = l_s = 0$ 。 综上可得：$\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r, \eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_s$ 线性无关。 2. 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，$\lambda_1, \lambda_2$ 为 $A$ 的两个不相等的特征值，又 $A\alpha = \lambda_1 \alpha, A\beta = \lambda_2 \beta$ ( $\alpha, \beta$ 为非零向量 ) 。则对任意的 $a \neq 0, b \neq 0$ ，向量 $a\alpha + b \beta$ **一定不是**特征向量。(**重要考点**) **证明：** 假设 $\alpha + \beta$ 为 $A$ 的特征向量，则有 $A(\alpha + \beta) = \lambda_3 (\alpha + \beta)$ 。 代入 $A\alpha = \lambda_1 \alpha, A\beta = \lambda_2 \beta$ ，得 $\lambda_1\alpha + \lambda_2\beta = \lambda_3\alpha + \lambda_3\beta$ ，即 $(\lambda_1 - \lambda_3)\alpha + (\lambda_2 - \lambda_3)\beta = 0$ 。 $\because \alpha, \beta$ 线性无关，$\therefore \lambda_1 - \lambda_3 = 0, \lambda_2 - \lambda_3 = 0$ ，即 $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3$ ，矛盾。 故 $a\alpha + b\beta$ 不是特征向量。 3. 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $A\alpha = \lambda_0\alpha$ ( $\alpha$ 为非零向量 ) ，$f(x) = a_nx^n + \cdots + a_1x + a_0$ ，令 $f(A) = a_nA^n + \cdots + a_1A + a_0E$ ，则 - $f(A)\alpha = f(\lambda_0)\alpha$ ，即 $f(\lambda_0)$ 为 $f(A)$ 的特征值，$\alpha$ 为 $f(A)$ 的特征向量。 **证明**：$\because A\alpha = \lambda_0\alpha, \ \therefore A^2\alpha = A \cdot A\alpha = \lambda_0 A\alpha = \lambda_0^@\alpha$ ， 依次类推可得 $A^3\alpha = \lambda_0^3\alpha, \cdots, A^n\alpha = \lambda_0^n\alpha$ 。 $\therefore f(A)\alpha = (a_nA^n + \cdots + a_1A + a_0)\alpha = (a_n\lambda_0^n + \cdots + a_1\lambda_0 + a_0)\alpha = f(\lambda_0)\alpha$ 。 - 若 $A$ 可逆，则 $A^{-1}\alpha = \frac{1}{\lambda_0}\alpha$ ，即 $\frac{1}{\lambda_0}$ 为 $A^{-1}$ 的特征值，$\alpha$ 为 $A^{-1}$ 的特征向量。 **证明**：$\because A$ 可逆，$\therefore \lambda_0 \neq 0$。 $A\alpha = \lambda_0\alpha$ 两边左乘 $A^{-1}$ 得 $\alpha = \lambda_0A^{-1}\alpha$ ，即 $A^{-1}\alpha = \frac{1}{\lambda_0}\alpha$ 。 - 若 $A$ 可逆，则 $A^{*}\alpha = \frac{|A|}{\lambda_0}\alpha$ ，即 $\frac{|A|}{\lambda_0}$ 为 $A^{*}$ 的特征值，$\alpha$ 为 $A^{*}$ 的特征向量。 **证明**：$\because A$ 可逆，$\therefore \lambda_0 \neq 0$。 $A\alpha = \lambda_0\alpha$ 两边左乘 $A^{*}$ 得 $|A|\alpha = \lambda_0A^{*}\alpha$ ，即 $A^{*}\alpha = \frac{|A|}{\lambda_0}\alpha$ 。 **Note：** 若 $A$ 可逆，则 $A, A^{-1}, A^*$ 的特征向量相同。 > 例题：设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，且 $A\alpha = \lambda_0\alpha$ ( $\alpha$ 为非零向量 ) ，求 $(A^*)^2 + E$ 的特征值。 解：$\because A\alpha = \lambda_0\alpha, \ \therefore A^*\alpha = \frac{|A|}{\lambda_0}\alpha$ 。 $\therefore [(A^*)^2 + E]\alpha = [(\frac{|A|}{\lambda_0})^2 + 1]\alpha$ ，即 $(A^*)^2 + E$ 的特征值为 $(\frac{|A|}{\lambda_0})^2 + 1$ 。 > 例题：设矩阵 $A, B$ 为 4 阶矩阵且 $A \sim B$ ，$A$ 的特征值为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$ ，求 $|B^{-1} - E|$ 。 解：$\because A \sim B, \ \therefore A^{-1} \sim B^{-1}$ ，即 $A^{-1}, B^{-1}$ 的特征值相等，为 $2, 3, 4, 5$ 。 $\therefore B^{-1} - E$ 的特征值为 $1, 2, 3, 4$ 。 $\therefore |B^{-1} - E| = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$ 。 4. 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $A$ 可相似对角化 (或与对角矩阵相似) 的**充分必要**条件是 $A$ 有 $n$ 个**线性无关的特征向量**。 ### 实对称矩阵的性质 1. 设 $A$ 为实对称矩阵，则 $A$ 的特征值**都是实数**。 2. 设 $A$ 为实对称矩阵，则 $A$ 的不同特征值对应的特征向量**正交**。 **证明**：设 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 为矩阵 $A$ 的两个不相等的特征值，其对应的特征向量为 $\alpha_1, \alpha_2$ 。 由 $A\alpha_1 = \lambda_1\alpha_1$ 两边转置得 $\alpha_1^TA^T = \alpha_1^TA = \lambda_1\alpha_1^T$ 。 等式两边同时右乘 $\alpha_2$ ，得 $\alpha_1^TA\alpha_2 = \lambda_1\alpha_1^T\alpha_2$ ，即 $(\lambda_2 - \lambda_1)\alpha_1^T\alpha_2 = 0$ 。 $\because \lambda_1 \neq \lambda_2, \ \therefore \alpha_1^T\alpha_2 = 0$ ，即 $\alpha_1, \alpha_2$ 正交。 3. 设 $A$ 为实对称矩阵，则 $A$ 一定可以**相似对角化**。特别的，存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $$ Q^TAQ = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \lambda_2 & ... & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & ... & \lambda_n \\ \end{bmatrix} $$ 其中 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 为矩阵 $A$ 的特征值。 ## 矩阵对角化 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，其特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 。若存在可逆矩阵 $P$ 使得 $$ P^{-1}AP = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} $$ 称矩阵 $A$ 可**相似对角化**，或 $A$ 可以对角化， $A$ 与对角矩阵相似。 **Notes：** - 若矩阵 $A$ 的特征值**都是单值**，则 $A$ 一定可以相似对角化。 - 若 $A$ 为**实对称矩阵**，则 $A$ 一定可以相似对角化。 - 若 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，则 $A$ 一定可以相似对角化。 - 若矩阵 $A$ 的每个特征值的**重数**与其对应的线性无关的**特征向量个数**相等时， $A$ 一定可以相似对角化。 - 若矩阵 $A$ 至少有一个特征值，其**重数**与其对应的线性无关的**特征向量个数不同**时， $A$ **一定不可以**相似对角化。 ### 一般矩阵的相似对角化 1. 由 $|\lambda E - A| = 0$ 求出矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ ； 2. 求齐次线性方程组 $(\lambda_iE - A)X = 0 \ (1 \leq i \leq n)$ 的基础解系，进而求出矩阵 $A$ 的线性无关的特征向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ ； 3. 若 $m < n$ ，则矩阵 $A$ 不可相似对角化。 若 $m = n$ ，则矩阵 $A$ 可以相似对角化，对焦环过程如下： 令 $P = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)$ ，向量组线性无关可知 $P$ 可逆。由 $A\alpha_1 = \lambda_1\alpha_1, A\alpha_2 = \lambda_2\alpha_2, \cdots, A\alpha_n = \lambda_n\alpha_n$ 得 $$ AP = P \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} $$ 两边同时乘以 $P^{-1}$ 得 $$ P^{-1}AP = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} $$ ### 实对称矩阵的相似对角化 1. 由 $|\lambda E - A| = 0$ 求出矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ ； 2. 求齐次线性方程组 $(\lambda_iE - A)X = 0 \ (1 \leq i \leq n)$ 的基础解系，进而求出矩阵 $A$ 的线性无关的特征向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ ；(实对称矩阵一定可以相似对角化) 3. **情形一**：求**可逆矩阵** $P$ ，使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。 令 $P = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)$ ，显然 $P$ 可逆。由 $A\alpha_1 = \lambda_1\alpha_1, A\alpha_2 = \lambda_2\alpha_2, \cdots, A\alpha_n = \lambda_n\alpha_n$ 得 $$ AP = P \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} $$ 两边同时乘以 $P^{-1}$ 得 $$ P^{-1}AP = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} $$ **情形二**：求**正交矩阵** $Q$ ，使得 $Q^TAQ$ 为对角矩阵。 将 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 通过**施密特正交化**转换为两两正交且规范的向量组 $Q = (\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_n)$ ，显然 $Q^TQ = E$ ，即 $Q$ 为正交矩阵。由 $A\gamma_1 = \lambda_1\gamma_1, A\gamma_2 = \lambda_2\gamma_2, \cdots, A\gamma_n = \lambda_n\gamma_n$ 得 $$ AQ = Q \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} $$ 两边同时乘以 $Q^{T}$ (正交矩阵 $Q^{-1} = Q^T$) 得 $$ Q^{T}AQ = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} $$ 最后修改：2024 年 09 月 20 日 © 允许规范转载 赞 如果觉得我的文章对你有用，请随意赞赏