Loading... ## 基本概念 - 矩阵：形如 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ 称为 $m \times n$ 矩阵，记为 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ 。 > 矩阵是一个表格。 若 $m = n$ ，则 $A$ 为一个**方阵**。 若 $\forall a_{ij} = 0$ ，则 $A = 0$ ，即 $A$ 为一个**零矩阵**。 - 同型矩阵：若矩阵 $A$ 和 $B$ 的行数和列数相同，则成矩阵 $A, B$ 为**同型矩阵**。 - 矩阵相等：若矩阵 $A, B$ 为同型矩阵，且 $a_{ij} = b_{ij} (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n)$ ，则称**矩阵 $A, B$ 相等**，记为 $A = B$ 。 ### 伴随矩阵 取 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{matrix} \right ]$ 为 $n$ 阶矩阵，记其中 $a_{ij}$ 的余子式为 $M_{ij}$ ，代数余子式为 $A_{ij}$ ，则称 $A^* = \left [ \begin{matrix} A_{11} & A_{21} & ... & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & ... & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & ... & A_{nn} \\ \end{matrix} \right ]$ 为矩阵 $A$ 的**伴随矩阵**。 **伴随矩阵的性质：** 1. $AA^* = A^*A = |A|E$ ; 2. $(A^T)^* = (A^*)^T$ ; 3. $(kA)^* = k^{n - 1} A^*$ ; 4. $(AB)^* = B^*A^*$ ; ## 矩阵的运算及性质 ### 三则运算 > 矩阵没有除法、 #### 矩阵加减 设 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ , $B = \left [ \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & ... & b_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ ，则 $A \pm B = \left [ \begin{matrix} a_{11} \pm b_{11} & a_{12} \pm b_{12} & ... & a_{1n} \pm b_{1n} \\ a_{21} \pm b_{12} & a_{22} \pm b_{22} & ... & a_{2n} \pm b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} \pm b_{m1} & a_{m2} \pm b_{m2} & ... & a_{mn} \pm b_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ 。 #### 矩阵相乘 1. 数与矩阵相乘：$kA = \left [ \begin{matrix} ka_{11} & ka_{12} & ... & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & ... & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & ... & ka_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ 。 矩阵内每个数都要乘，注意和行列式区分开。 2. 设 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ , $B = \left [ \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1s} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2s} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & ... & b_{ns} \\ \end{matrix} \right ]$ ，则 $AB = \left [ \begin{matrix} c_{11} & c_{12} & ... & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & ... & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & ... & c_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ ，其中 $c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ... + a_{in}b_{nj} \ (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., s)$ 。 > 两个矩阵内标相同可乘，结果矩阵的型由外标决定。 **注解：** 1. 两个非零矩阵相乘结果可能为零矩阵。. 令 $A = \left [ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right ]$ ，$B = \left [ \begin{matrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right ]$ ，显然两个矩阵都为非零矩阵。相乘得 $AB = \left [ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right ]$ 为零矩阵。 2. $A \neq 0 \nRightarrow A^k \neq 0$ 。 令 $A = \left [ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right ]$ ，易知 $A^2 = \left [ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right ]$ ，为零矩阵。 3. 矩阵多项式可按照多项式方式进行因式分解。 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵， $f(x) = a_nx^n + ... + a_1x + a_0$ ，则称 $f(A) = a_nA^n + ... + a_1A + a_0E$ 为 $A$ 得矩阵多项式。解题过程中出现 $f(A)$ ，一般有以下方法： 1. 像多项式一样处理。如：$A^2 - A - 6E = (A + 2E)(A - 3E)$ 。 2. 特征值与特征向量问题中出现 $f(A)$ 时，一般使用定义，即令 $AX = \lambda X (X \neq 0)$ 得 $f(A)X = f(\lambda)X$ 。 4. 齐次线性方程组和非齐线性方程组可以分别表示为矩阵形式 $AX = 0$ 及 $AX = b$ 。 称 $\left \{ \begin{array}{c} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = 0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = 0 \end{array} \right . \ (*)$ 为 $n$ 元齐次线性方程组； 称 $\left \{ \begin{array}{c} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = b_m \end{array} \right . \ (**)$ 为 $n$ 元非齐线性方程组； 令 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ ，$X = \left [ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right ]$ ，$b = \left [ \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{matrix} \right ]$ 。因为 $AX = \left \{ \begin{array}{c} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n \end{array} \right .$ ，所以 $AX = 0$ 等价于上述 $(*)$ ；$AX = b$ 等价于上述 $(**)$ 。 5. 矩阵乘法的模块化： - 右矩阵列化： 令 $A_{m \times n}$ ， $B_{n \times s} = (\beta_1, \beta_2, ... , \beta_s)$ ，则有 $AB = A(\beta_1, \beta_2, ... , \beta_s) = (A\beta_1, A\beta_2, ... , A\beta_s)$ 。更一般地，有 $A(B \ \vdots \ C) = (AB \ \vdots \ AC)$ 。 - 左矩阵列化：若将左矩阵列化，则右矩阵具体化。 如： $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ ，$B = \left [ \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & -5 \\ -1 & 1 & 4 \end{matrix} \right ]$ ，则 $$ AB = (\alpha_1 + 2\alpha_2 - \alpha_3, -2\alpha_1 + 3\alpha_2 + \alpha_3, \alpha_1 - 5\alpha_2 + 4\alpha_3) $$ > 注意掌握逆向拆分，即将上面的等式右边的矩阵逆向写成左边矩阵相乘的形式。 ### 矩阵转置 设 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ ，称 $\left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{21} & ... & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & ... & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ 为矩阵 $A$ 的转置，记为 $A^T$ 。 #### 矩阵转置的性质 1. $(A^T)^T = A$ ; 2. $(kA)^T = kA^T$ ; 3. $(A \pm B)^T = A^T \pm B^T$ ; 4. $(AB)^T = B^TA^T$ ; 5. $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ ; 6. $(A^T)^m = (A^m)^T$ ; ### 矩阵的初等变换 方程组的同解变形： 1. 对调两个方程； 2. 某个方程两边同乘一个非零常数； 3. 某个方程的倍数加到另一个方程。 矩阵的行也是对应的方程组中的一个方程，因此可以推出**矩阵的初等变换**： - **初等行变换：** 1. 对调矩阵的两行； 2. 矩阵的某行乘以一个非零常数 $k$ ； 3. 矩阵某行的倍数加到另一行。 - **初等列变换：** 1. 对调矩阵的两列； 2. 矩阵的某列乘以一个非零常数 $k$ ； 3. 矩阵某列的倍数加到另一列。 > 解方程组的时候禁止使用初等列变换 ##### 三种初等矩阵 **单位矩阵**经过**一次初等变换**所得到的矩阵称为**初等矩阵**。 1. $E_{i, j}$ ：将单位矩阵 $E$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行对调 (或第 $i$ 列和第 $j$ 列对调) 所得到的矩阵。 2. $E_{i}(c), (c \neq 0)$ ：将单位矩阵 $E$ 的第 $i$ 行 (或第 $i$ 列) 乘以非零常数 $c$ 所得到的矩阵。 3. $E_{ij}(k)$ ：将单位矩阵 $E$ 的第 $j$ 行的 $k$ 倍加到 $i$ 行 (或将单位矩阵 $E$ 的第 $j$ 列的 $k$ 倍加到 $i$ 列) 所得到的矩阵。 初等矩阵 $E_{i, j}$ 具有如下性质： 1. $E_{i, j} A$ 本质上是对调矩阵 $A$ 的 $i, j$ 行，即第一种初等行变换； 2. $AE_{i, j}$ 本质上是对调矩阵 $A$ 的 $i, j$ 列，即第一种初等列变换； 3. $|E_{i, j}| = -1 \neq 0$ ，即 $E_{ij}$ 可逆； 4. $(E_{i, j})^{-1} = E_{i, j}$ ； 5. $(E_{i, j})^2 = E_{i, j}$ ； 初等矩阵 $E_{i}(c), (c \neq 0)$ 具有如下性质： 1. $E_{i}(c)A$ 本质上是矩阵 $A$ 的第 $i$ 行乘以非零常数 $c$ ，即第二种初等行变换； 2. $AE_{i}(c)$ 本质上是矩阵 $A$ 的第 $i$ 列乘以非零常数 $c$ ，即第二种初等列变换； 3. $|E_{i}(c)| = c \neq 0$ ，即 $E_{i}(c)$ 可逆； 4. $[E_{i}(c)]^{-1} = E_{i}(\frac{1}{c})$ ； 初等矩阵 $E_{ij}(k)$ 具有如下性质： 1. $E_{ij}(k)A$ 本质上是矩阵 $A$ 的第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行，即第三种初等行变换； 2. $AE_{ij}(k)$ 本质上是矩阵 $A$ 的第 $i$ 列的 $k$ 倍加到第 $j$ 列，即第三种初等列变换； 3. $|E_{ij}(k)| = 1 \neq 0$ ，即 $E_{ij}(k)$ 可逆； 4. [$E_{ij}(k)]^{-1} = E_{ij}(-k)$ ； **Notes：** - $A$ 的三种初等行变换 $\Leftrightarrow$ $A$ 左乘三种初等矩阵，列变化则为右乘。 - 方程组的三种同解变形 $\Leftrightarrow$ 矩阵的三种初等行变换 $\Leftrightarrow$ 矩阵 $A$ 左乘三种初等矩阵。 - 三种初等矩阵的逆矩阵任然是**同类型**的初等矩阵。 - 矩阵的初等行变换接替话的过程本质上是消元法的过程，即**解方程组**的过程。解方程组时矩阵**不可进行**初等列变换。 - 设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $n \times s$ 矩阵，则 $(A \vdots AB) \xrightarrow{列} (A \vdots O)$ 。 例：设 $A = [\alpha_1, \alpha_2], \ B = \left [ \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & -4 \end{matrix} \right ] , \ AB = [2\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 - 4\alpha_2]$ ，则 $$ [A \vdots AB] = [\alpha_1, \alpha_2 \vdots 2\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 - 4\alpha_2] \xrightarrow{列} [A \vdots O] $$ ##### 矩阵初等变换的相关定理 1. 设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $A$ 可通过初等行变换或初等列变换转换为单位矩阵 $E$ 。 - $A$ 经过有限次初等行变换化为 $B$ 等价于存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $PA = B$ 。 - $A$ 经过有限次初等列变换化为 $C$ 等价于存在可逆矩阵 $Q$ ，使得 $AQ = C$ 。 2. 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $A$ 可逆的**充分必要**条件是 $A$ 为若干个初等矩阵之积。 证明： - 充分性：设 $A = Q_1Q_2 ... Q_t$ ，其中 $Q_1Q_2 ... Q_t$ 为初等矩阵。 由此可知 $|A| = |Q_1Q_2 ... Q_t| = |Q_1||Q_2| ... |Q_t|$ 。 $\because$ 初等矩阵对应的行列式的值均不为 0 ； $\therefore$ 矩阵 $A$ 可逆。 - 必要性：若 $A$ 可逆，则存在初等矩阵 $P_1, P_2, ..., P_s$ ，使得 $P_s...P_2P_1A = E$ ，即 $A = (P_s...P_2P_1)^{-1} = P_1^{-1}P_2^{-1}...P_s^{-1}$ 。 $\because$ 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵； $\therefore$ $A$ 可以表示为初等矩阵之积。 3. 设 $A$ 为 $m \times n$ 阶矩阵，$r(A) = r$ 且 $r < min\{m, n\}$ ，则 $A$ 可以经过有限次的初等变换化为 $\left [ \begin{matrix} E_r & O \\ O & O \end{matrix} \right ]$ ，即存在可逆矩阵 $P, Q$ ，使得 $PAQ = \left [ \begin{matrix} E_r & O \\ O & O \end{matrix} \right ]$ 。 - 矩阵的初等行变换即压缩掉多余的行；矩阵的初等列变换即压缩掉多余的列。 - 仅经过有限次初等行变换一般无法化为 $\left [ \begin{matrix} E_r & O \\ O & O \end{matrix} \right ]$ ，有限次初等列变换也不行。 ## 逆阵理论 > 一元一次方程组衍生而来 ### 逆矩阵的定义 设 $A$ 时 $n$ 阶矩阵，若存在 $n$ 阶矩阵 $B$ ，使得 $BA = E$ (或 $AB = E$ ) ,称矩阵 $A$ **可逆**。矩阵 $B$ 称为矩阵 $A$ 的**逆矩阵**，记为 $B = A^{-1}$ 。 > 定义法求逆矩阵 - 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，若 $A^2 + A - 2E = O$ ，求 $A^{-1}$ 。 由 $A^2 + A - 2E = O$ 得 $A(A + E) = 2E$ ，即 $A \cdot \frac{1}{2} (A + E) = E$ ， 由逆矩阵的定义得：$A^{-1} = \frac{1}{2} (A + E)$ 。 ### 逆矩阵的相关性质 **矩阵的行列式性质：** 1. $|A^T| = |A|$ ; 2. $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ ; 3. $|A^*| = |A|^{n - 1}$ ; 4. $A$ 为 $n$ 阶矩阵， $k$ 为常数，则 $|kA| = k^n|A|$ ; 5. $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $|AB| = |A| \cdot |B|$ (**拉普拉斯法则**) 。 **逆矩阵的性质：** 1. $(A^{-1})^{-1} = A$ ; 2. $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ ; 3. $(A^{-1})^m = (A^m)^{-1}$ ; 4. $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$ ; 5. $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ ; 6. 设 $A, B$ 分别为 $m$ 和 $n$ 阶可逆矩阵，则有： $\left [ \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right ] ^{-1} = \left [ \begin{matrix} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{matrix} \right ]$ ; $\left [ \begin{matrix} O & A \\ B & O \end{matrix} \right ] ^{-1} = \left [ \begin{matrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{matrix} \right ]$ ; ### 矩阵可逆的判别 **定理**：设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，则 $A$ 可逆的**充分必要**条件是 $|A| \neq 0$ 。(**重要定理**) 证明如下： - 充分性：若 $|A| \neq 0$ ，由 $AA^* = |A|E$ 可得 $A \cdot \frac{1}{|A|}A^* = E$ ，由矩阵可逆得定义可知 $A$ 可逆，且 $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$ 。 - 必要性：若 $A$ 可逆，则由矩阵可逆的定义可知：存在矩阵 $B$ ，使得 $BA = E$ 。两边取行列式得 $|BA| = 1$ ，再由拉普拉斯法则得 $|B| \cdot |A| = 1$ ，因此 $|A| \neq 0$ 。 ### 逆矩阵的求法 #### 伴随矩阵法 由上面的证明可知，若 $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆，则 $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$ 。 > $n \leq 3$ 的时候可以考虑使用该方法求解逆矩阵。 **Note：** 若 $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆，则有 $A^* = |A|A^{-1}$ 。 (**重要考点**) - 例题：若矩阵 $A, B$ 分别为 $n$ 阶可逆矩阵，求 $(AB)^*$ 。 解：$(AB)^* = |AB| \cdot (AB)^{-1} = (|A| \cdot |B|)(B^{-1} \cdot A^{-1}) = B^*A^*$ 。 - 例题：若矩阵 $A, B$ 分别为 $n$ 阶可逆矩阵，求 $\left [ \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right ]^*$ 。 解：$\left [ \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right ]^* = \left | \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right | \cdot \left [ \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right ]^{-1} = |A| \cdot |B| \cdot \left [ \begin{matrix} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} |B|A^{-1} & O \\ O & |A|B^{-1} \end{matrix} \right ]$ 。 #### 初等变换法 **定理**：设 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，则 $[A \vdots E] \xrightarrow{行} [E \vdots A^{-1}]$ 。 **证明**：因为矩阵 $A$ 可逆，所以存在初等矩阵 $P_1, P_2, \cdots , P_s$ ，使得 $A \xrightarrow{行} P_s \cdots P_2P_1A = E$ ，从而 $A^{-1} = P_s \cdots P_2P_1$ ，于是 $E \xrightarrow{行} P_s \cdots P_2P_1E = A^{-1}$ ，故 $[A \vdots E] \xrightarrow{行} [E \vdots A^{-1}]$ 。 ## 秩理论 ### 矩阵秩的概念 设 $A$ 是 $m \times n$ 的矩阵，矩阵 $A$ 中任取 $r$ 行和 $r$ 列，元素按照原有次序排列构成的 $r$ 阶行列式，称为矩阵 $A$ 的 **$r$ 阶子式**，矩阵 $A$ 共有 $C_m^rC_n^r$ 个 $r$ 阶子式， 若 $A$ 中至少有一个 $r$ 阶子式不为零，且**所有** $r + 1$ 阶子式 (若存在) 皆为零，称 $r$ 为矩阵 $A$ 的秩，记为 $r(A) = r$ 。 > 方程组中，矩阵的秩本质上就是有效约束条件的数量。 **Notes：** 1. 设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，由矩阵秩的定义得 $r(A) \leq m, r(A) \leq n$ ，即 $r(A) \leq min\{m, n\}$ 。 2. 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，若 $|A| \neq 0$ ，由矩阵秩的定义得 $r(A) = n$ ，称 $A$ 为**满秩矩阵**；若 $|A| = 0$ ，由矩阵秩得定义得 $r(A) < n$ ，称 $A$ 为**降秩矩阵**。 3. 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $A$ 满秩 $\Leftrightarrow$ $A$ 非奇异。 4. 设 $\alpha = \left [ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right ]$ ，则 $r(\alpha) \leq 1$ 。特别地，若 $\alpha = 0$ ，则 $r(\alpha) = 0$ ；若 $\alpha \neq 0$ ，则 $r(\alpha) = 1$ 。 ### 矩阵秩的求法 在方程组中，矩阵的秩本质上为方程组中约束条件的个数，而方程组约束条件的个数即经过方程组三种同解变形阶梯化后留下的方程个数，故对**矩阵进行初等行变换阶梯化后非零行数**即为矩阵的秩。如： $$ A = \left [ \begin{matrix} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 & 4 \end{matrix} \right ] \rightarrow \left [ \begin{matrix} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \end{matrix} \right ] \rightarrow \left [ \begin{matrix} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right ] , \ \text{即} r(A) = 2 \ \text{。} $$ **Notes：** 1. $r(A) = 0$ 的充分必要条件是 $A = O$ 。 2. $r(A) \geq 1$ 的充分必要条件是 $A \neq O$ 。 3. $r(A) \geq 2$ 的充分必要条件是 $A$ 至少两行不成比例。 ### 矩阵秩的性质 1. $r(A) = r(A^T) = r(A^TA) = r(AA^T)$ 。 > 当题目中出现 $A^TA$ 或 $AA^T$ 时，一般使用该性质。 - 设 $\alpha$ 为向量，则 $r(\alpha \alpha^T) = r(\alpha)$ 。 - 当 $k \neq 0$ 时，$r(kA) = r(A)$ 。 例：设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，且 $A^TA = 0$ ，证明 $A = 0$ 。 解：$\because r(A) = r(A^TA) = 0 ; \ \therefore A = 0$ 。 2. $r(A) \ \text{或} \ r(B) \leq r(A \vdots B) \leq r(A) + r(B)$ ; $r(A) \ \text{或} \ r(B) \leq r(\genfrac{}{}{0pt}{1}{A}{B}) \leq r(A) + r(B)$ ; $r(\left [ \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right ]) = r(A) + r(B)$ 。 3. 设 $A, B$ 为同型矩阵，则 $r(A \pm B) \leq r(A) + r(B)$ 。 > 当题目中出现 $A + B, \ A - B \ \text{或} \ r(A) + r(B)$ 时，一般使用该性质。 例题：设 $\alpha, \beta$ 为两个同型的列向量，$A = \alpha \alpha^T + \beta \beta^T$ ，证明 $r(A) \leq 2$ 。 证明：易知 $r(\alpha\alpha^T) = r(\alpha) = 1, \ r(\beta\beta^T) = r(\beta) = 1$ ，因此 $r(A) \leq r(\alpha \alpha^T) + r(\beta \beta^T) = 2$ 。 4. 设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $n \times s$ 矩阵，则 $r(AB) \leq min\{r(A), r(B)\}$ 。 > 当题目中出现 $r(A), r(B), r(AB)$ 时一般使用该性质。 例题：设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $n \times s$ 矩阵，证明 $r(A \vdots AB) = r(A)$ 。 证明：易知 $r(A \vdots AB) \geq r(A)$ ，且 $r(A \vdots AB) = r[A(E \vdots B)] \leq r(A)$ ，所以 $r(A \vdots AB) = r(A)$ 。 5. 设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $n \times s$ 矩阵，且 $AB = O$ ，则 $r(A) + r(B) \leq n$ 。(**重要性质**) > 当题目中出现 $AB = O$ 时，一般使用该性质。 - 例题：设 $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆，证明：$A$ 的逆矩阵唯一。 证明：假设 $A$ 的逆矩阵不唯一，则存在不同的矩阵 $B, C$ ，满足 $AB = E, \ AC = E$ 。 相减得 $AB - AC = O$ ，即 $A(B - C) = O$ 。 由此可知 $r(A) + r(B - C) \leq n$ 。 又由 $A$ 可逆知 $r(A) = n$ ，所以 $r(B - C) = 0$ ，即 $B = C$ ，与假设矛盾。 因此 $A$ 的逆矩阵唯一。 - 例题：设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $A^2 + A - 2E = 0$ ，证明：$r(E - A) + r(2E + A) = n$ 。 证明：$\because A^2 + A - 2E = 0 \Rightarrow (A - E)(A + 2E) = 0 \Rightarrow (E - A)(2E + A) = 0$ $\therefore r(E - A) + r(2E + A) \leq n$ 。 又 $\because r(E - A) + r(2E + A) \geq r(3E) = n$ ， $\therefore r(E - A) + r(2E + A) = n$ 。 6. 设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$P, Q$ 分别为 $m$ 阶和 $n$ 阶的可逆矩阵，则 $$ r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ) $$ 即**初等变换不改变秩**。 证明：令 $B = PA$ ，可知 $r(B) = r(PA) \leq r(A)$ 。 $\because P$ 可逆，$\therefore A = P^{-1}B$ ，由此可知 $r(A) = r(P^{-1}B) \leq r(B)$ 。 综上可得 $r(A) = r(PA)$ 。同理可证 $r(A) = r(AQ)$ 。 - 例题：设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $n \times s$ 矩阵，证明 $r(A \vdots AB) = r(A)$ 。(另一种证明方法) $\because r(A \vdots AB) \xrightarrow{列} r(A \vdots O), \ \therefore r(A \vdots AB) = r(A)$ 。 7. 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $r(A^*) = \left \{ \begin{array}{c} n, & r(A) = n; \\1, & r(A) = n - 1 \\ 0, & r(A) < n - 1 \end{array} \right .$ ，其中 $n \geq 2$ 。 证明： - $\because r(A) = n, \ \therefore |A| \neq 0$ 。 $\because AA^* = |A|E \Rightarrow |A| \cdot |A^*| = |A|^n$ ，且 $|A| \neq 0$ ； $\therefore |A^*| = |A|^{n - 1} \neq 0$ ，即 $r(A^*) = n$ 。 - $\because r(A) = n - 1, \ \therefore |A| = 0$ 。 $\because AA^* = |A|E = O, \ \therefore r(A) + r(A^*) \leq n$ ，即 $\therefore r(A^*) \leq 1$ 。 $\because r(A) = n - 1, \ \therefore \exists M_{ij} \neq 0 \Rightarrow \exists A_{ij} \neq 0 \Rightarrow A^* \neq O \Rightarrow r(A^*) \geq 1$ $\therefore r(A^*) = 1$ 。 - $\because r(A) < n - 1, \ \therefore \forall M_{ij} = 0 \Rightarrow \forall A_{ij} = 0$ 。 $\therefore A^* = O$ ，即 $r(A^*) = 0$ 。 ## 矩阵等价 ### 定义 设 $A, B$ 为**同型矩阵**，若 $A$ 经过有限次初等变换化为 $B$ ，则称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 等价。 ### 判别法 设 $A, B$ 为**同型矩阵**，则 $A, B$ 时等价矩阵得**充分必要**条件是 $r(A) = r(B)$ 。 证明：待补充。 最后修改：2024 年 10 月 18 日 © 允许规范转载 赞 如果觉得我的文章对你有用，请随意赞赏