Loading... ## 基本概念 1. 向量：既有大小 (长度) 又有方向的量称为向量。$\left [ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right ]$ ，$\left [ \begin{matrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{matrix} \right ]$ 分别称为 $n$ 维列向量和 $n$ 维行向量。其中 $a_i \ (i = 1, 2, \cdots , n)$ 称为向量的 $n$ 个分量。 > 一般情况下的我们所指的向量为列向量。 2. 向量的模 (长度) ：设向量 $\alpha = \left [ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right ]$ ，称 $\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}$ 为向量 $\alpha$ 的模 (或长度) ，记为 $|\alpha|$ 。 若 $|\alpha| = 0$ ，则 $\alpha$ 为**零向量**，即 $\alpha = 0$ 。 若 $|\alpha| = 1$ ，则 $\alpha$ 为**单位向量** (或规范向量) 。 3. 向量的单位化：设 $\alpha = \left [ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right ]$ 为非零向量，与向量 $\alpha$ 方向相同且长度为 1 的向量称为向量 $\alpha$ 对应的单位向量。令 $\alpha^0 = \frac{1}{|\alpha|} \alpha$ ，则 $\alpha^0$ 为向量 $\alpha$ 的单位化向量。 4. 向量的内积：设 $\alpha = \left [ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right ], \beta = \left [ \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{matrix} \right ]$ ，称 $a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$ 为向量 $\alpha, \beta$ 的内积，记为 $(\alpha, \beta)$ ，即 $(\alpha, \beta) = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$ 。 向量内积运算的性质： - $(\alpha, \beta) = (\beta, \alpha) = \alpha^T\beta = \beta^T\alpha$ 。 - $(\alpha, \alpha) = \alpha^T\alpha = |\alpha|^2$ ，且 $(\alpha, \alpha) = 0$ 的**充分必要**条件是 $\alpha = 0$ 。 - $(\alpha, k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + \cdots + k_n\beta_n) = k_1(\alpha, \beta_1) + k_2(\alpha, \beta_2) + \cdots + k_n(\alpha, \beta_n)$ 。 - 若 $(\alpha, \beta) = 0 \Leftrightarrow a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = 0$ ，则称 $\alpha, \beta$ 正交，记为 $\alpha \perp \beta$ 。特别的，**零向量与任何向量正交**。 5. 向量三则运算的性质 - $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ 。 - $\alpha + (\beta + \gamma) = (\alpha + \beta) + \gamma$ 。 - $k(\alpha + \beta) = k\alpha + k\beta$ 。 - $(k + l)\alpha = k\alpha + l\alpha$ 。 ## 向量组的相关性与线性表示 ### 背景 对于齐次线性方程组 $$ \left \{ \begin{array}{c} \tag{I} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0 \end{array} \right . $$ 及非齐线性方程组 $$ \left \{ \begin{array}{c} \tag{II} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_n \end{array} \right . $$ 令 $\alpha_1 = \left [ \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{matrix} \right ] , \alpha_2 = \left [ \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{matrix} \right ] , \cdots , \alpha_1 = \left [ \begin{matrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{matrix} \right ], b = \left [ \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{matrix} \right ]$ ，则方程组 $\text{(I),(II)}$ 可以表示为如下向量形式： $$ \begin{gather} x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n = 0 \tag{I'\ } \\ x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n = b \tag{II'} \end{gather} $$ 向量组的相关性与线性表示理论本质上就是**以向量为工具**对**方程组理论**进行描述。 ### 定义 #### 相关性 对**齐次线性方程组** $$ \begin{gather} x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n = 0 \tag{I} \end{gather} $$ 1. 若方程组 $\text{(I)}$ **只有零解**，即 $\text{(I)}$ 成立当且仅当 $x_1 = x_2 = \cdots x_n = 0$ ，称向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ **线性无关**。 > 约束条件的个数和方程组的个数相同。 2. 若方程组 $\text{(I)}$ **有非零解**，即存在不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots , k_n$ ，使得 $$ k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n = 0 \ , $$ 称向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ **线性相关**。 #### 线性表示 对**非齐线性方程组** $$ \begin{gather} x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n = b \tag{II} \end{gather} $$ 1. 若方程组 $\text{(II)}$ **有解**，即存在常数 $k_1, k_2, \cdots , k_n$ ，使得 $$ k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n = b \ , $$ 称向量 $b$ **可以**由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ **线性表示**。 2. 若方程组 $\text{(II)}$ **无解**，称向量 $b$ **不可**由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ **线性表示**。 #### 定义法证明相关性 > 例题：设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，$\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2, \ \beta_2 = \alpha_2 + \alpha_3, \ \beta_3 = \alpha_3 + \alpha_1$ ，求向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的相关性。 解：令 $k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3 = 0$ ，代入 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 得 $$ (k_1 + k_3) \alpha_1 + (k_1 + k_2) \alpha_2 + (k_2 + k_3) \alpha_3 = 0 $$ $\because \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，$\therefore k_1 + k_3 = k_1 + k_2 = k_2 + k_3 = 0$ ， $\because |A| = \left | \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right | = 2 \neq 0, \ \therefore r(A) = 3$ 。 解得 $k_1 = k_2 = k_3 = 0$ ，即 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性无关。 > 例题：设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关，$\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2, \beta_2 = \alpha_2 + \alpha_3， \beta_3 = \alpha_3 + \alpha_4, \beta_4 = \alpha_4 + \alpha_1$ ，求向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 的相关性。 解：令 $k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3 + k_4\beta_4 = 0$ ，代入 $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 得 $$ (k_1 + k_4) \alpha_1 + (k_1 + k_2) \alpha_2 + (k_2 + k_3) \alpha_3 + (k_3 + k_4) \alpha_4 = 0 $$ $\because \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关，$\therefore \left \{ \begin{array}{c} k_1 + k_4 = 0 \\ k_1 + k_2 = 0 \\ k_2 + k_3 = 0 \\ k_3 + k_4 = 0 \end{array} \right . \quad (*)$ 。 $\because |A| = \left | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right | = 0, \ \therefore r(A) < 4$ ，即 $(*)$ 有非零解。 $\therefore \beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 线性相关。 另法：$\because \beta_1 - \beta_2 = \alpha_1 - \alpha_3, \ \beta_3 - \beta_4 = \alpha_3 - \alpha_1$ ， $\therefore \beta_1 - \beta_2 + \beta_3 - \beta_4 = 0$ ，即 $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 线性相关。 > 例题：设向量 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，向量 $\beta \neq 0$ 且与 $\alpha_1, \alpha_2$ 正交，证明 $\alpha_1, \alpha_2, \beta$ 线性无关。 证：令 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_0\beta = 0$ ，有 $(\beta, k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_0\beta) = 0$ 。 $\because \beta$ 与 $\alpha_1, \alpha_2$ 正交，$\therefore k_0(\beta, \beta) = 0$ ， 而 $\beta$ 为非零向量，所以 $k_0 = 0$ ，代入得 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 = 0$ $\because \alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，$\therefore k_1 = k_2 = 0$ 。 $\therefore \alpha_1, \alpha_2, \beta$ 线性无关。 ### 性质 1. 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性相关的**充分必要条件**是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 中至少有**一个向量可由其余向量线性表示**。 证明： - 充分性：设存在常数 $l_1, \cdots l_{k - 1}, l_{k+1}, \cdots , l_n$ ，使得 $$ \alpha_k = l_1\alpha_1 + \cdots + l_{k - 1}\alpha_{k - 1} + l_{k + 1}\alpha_{k + 1} + \cdots + l_n\alpha_n $$ 即 $l_1\alpha_1 + \cdots + l_{k - 1}\alpha_{k - 1} - \alpha_k + l_{k + 1}\alpha_{k + 1} + \cdots + l_n\alpha_n = 0$ 。因为系数不全为零，所以向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性相关。 - 必要性：$\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性相关，即存在不全为零的常数 $k_1, k_2, \cdots , k_n$ ，使得 $$ k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n = 0 \ $$ 不妨设 $k_1 \neq 0$ ，则 $\alpha_1 = -\frac{k_2}{k_1}\alpha_2 -\frac{k_3}{k_1}\alpha_3 - \cdots - -\frac{k_n}{k_1}\alpha_n$ ，即向量 $\alpha_1$ 可由向量组 $\alpha_2, \alpha_3, \cdots , \alpha_n$ 线性表示。 **Notes：** 1. 含**零向量**的向量组**一定线性相关**。 证明：设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ ，且 $\alpha_1 = 0$ 。 $\because 2\alpha_1 + 0\alpha_2 + \cdots + 0\alpha_n = 0 \ , \ \therefore$ 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性相关。 (另一种证明方法) $\because \alpha_1 = 0\alpha_2 + \cdots + 0\alpha_n \ , \ \therefore $ 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性相关。 2. $\alpha, \beta$ 线性相关的**充分必要**条件是 $\alpha, \beta$ 成比例。 证明： - 充分性：设 $\beta = k\alpha$ ，则有 $k\alpha + (-1)\beta = 0$ ，即 $\alpha, \beta$ 线性相关。 - 必要性：因为 $\alpha, \beta$ 线性相关，所以存在不全为零的常数 $k_1, k_2$ ，满足 $k_1\alpha + k_2\beta = 0$ 。不妨设 $k_1 \neq 0$ ，则有 $\alpha = -\frac{k_2}{k_1} \beta$ ，即 $\alpha, \beta$ 成比例。 2. 设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性无关，则 1. $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n, b$ 线性无关的**充分必要**条件是向量 $b$ 不可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性表示。 2. 若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n, b$ 线性相关，则向量 $b$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 唯一线性表示。 证明： - 线性表示：$\because \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n, b$ 线性相关，$\therefore $ 存在不全为零的常数 $k_1, k_2, \cdots , k_n, k_0$ ，使得 $$ k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n +k_0b = 0 $$ 若 $k_0 = 0$ ，则有 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n = 0$ 。由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性相关知 $k_1 + k_2 + \cdots + k_n = 0$ ，与 $k_1, k_2, \cdots , k_n, k_0$ 不全为零矛盾，因此 $k_0 \neq 0$ 。 $\therefore b = -\frac{k_1}{k_0}\alpha_1 - \frac{k_2}{k_0}\alpha_2 - \cdots - \frac{k_n}{k_0}\alpha_n$ ，即 $b$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性表示。 - 唯一性：设存在两组不全为零的常数 $l_1, l_2, \cdots, l_n$ 和 $t_1, t_2, \cdots, t_n$ ，使得 $$ b = l_1\alpha_1 + l_2\alpha_2 + \cdots + l_n\alpha_n \\ b = t_1\alpha_1 + t_2\alpha_2 + \cdots + t_n\alpha_n $$ 相减得 $(l_1 - t_1) \alpha_1 + (l_2 - t_2) \alpha_2 + \cdots (l_n - t_n) \alpha_n = 0$ 。 $\because \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性无关，$\therefore l_1 = t_1, l_2 = t_2, \cdots, l_n = t_n$ 。 因此向量 $b$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 唯一线性表示。 3. 若一个向量组线性无关，则该项两组的**任何部分向量组**都线性无关。 4. 若向量组有一个**部分向量组线性相关**，则该向量组一定线性相关。 > 例题：向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，向量组 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性相关。求 $\alpha_4$ 是否可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示。 解：$\because \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，$\therefore \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关。 $\because \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性相关，$\therefore$ 存在不全为零的常数 $k_2, k_3, k_4$ ，使得 $k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 + k_4\alpha4 = 0$ 。 通过反证法可得 $k_4 \neq 0$ ，所以 $\alpha_4 = - \frac{k_2}{k_4}\alpha_2 - \frac{k_3}{k_4}\alpha_3$ ，即 $\alpha_4$ 可由 $\alpha_2, \alpha_3$ 线性表示。 综上所述 $\alpha_4$ 可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示。 5. 设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 为 $n$ 个 $n$ 维向量，则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性无关的**充分必要**条件是 $$ |\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n| \neq 0 $$ 同样的，$\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性相关的充分必要条件是 $|\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n| = 0$ 。 证明：令 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n)$ ，$X = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^T$ 。 - $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性无关 $\Leftrightarrow AX = 0$ 仅有零解 $\Leftrightarrow r(A) = n \Leftrightarrow |A| \neq 0$ 。 - $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性相关 $\Leftrightarrow AX = 0$ 有非零解 $\Leftrightarrow r(A) < n \Leftrightarrow |A| = 0$ 。 > 例题：设向量 $\alpha_1 = \left [ \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right ] , \alpha_2 = \left [ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} \right ] ,\alpha_3 = \left [ \begin{matrix} 1 \\ a \\ a^2 \end{matrix} \right ]$ ，求这个向量组的相关性。 解：$|\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3| = \left | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & a \\ 1 &4 & a^2 \end{matrix} \right | = 3(a + 1)(a - 2)$ ，因此 1. 当 $a \neq -1$ 且 $a \neq 2$ 时，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关； 2. 当 $\alpha = -1$ 或 $\alpha = 2$ 时，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关。 6. 设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 为 $n$ 个 $m$ 维向量，若 $m < n$ ，则向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ **一定线性相关**。 - 约束条件比未知数少，一定有自由变量，即线性相关。(左右宽上下长) > 例题：设向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 为三个三维线性无关的向量，证明任意一个三维向量 $\beta$ 都可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 唯一线性表示。 证：由题易知 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta$ 线性相关。 又 $\because \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关， $\therefore \beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 唯一线性表示。(性质2) 7. 设向量组 $\alpha_1', \alpha_2', \cdots , \alpha_n'$ 为向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 的扩充向量组 (即添加维数后的向量组) ，若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性无关，则向量组 $\alpha_1', \alpha_2', \cdots , \alpha_n'$ 线性无关，**反之不对**。 - 加未知数**个数**提升**相关性**，加**维数**提升**无关性**。 > 例题：设向量 $\alpha_1 = \left [ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right ] , \alpha_2 = \left [ \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right ] ,\alpha_3 = \left [ \begin{matrix} 3 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right ]$ ，求这个向量组的相关性。 解：$\because \left | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right | = 1 \neq 0 \ , \ \therefore \left [ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right ] , \left [ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right ] ,\left [ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right ]$ 线性无关。 $\therefore \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关。 8. 设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 为两两正交的**非零**向量组，则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性无关，**反之不对**。 证明： - 令 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n = 0$ 。 由 $(\alpha_1, k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n) = 0$ 可知 $k_1(\alpha_1, \alpha_1) = 0$ 。 $\because \alpha_1$ 为非零向量，$\therefore k_1 = 0$ 。 同理可证明 $k_2 = k_3 = \cdots = k_{n-1} = 0$ 。 代入 $k_1, \cdots k_{n-1}$ 可得 $k_n\alpha_n = 0$ 。 $\because \alpha_n$ 为非零向量，$\therefore k_n = 0$ 。 综上所述，$\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性无关。 - 设向量 $\alpha_1 = \left [ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right ] , \alpha_2 = \left [ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right ] ,\alpha_3 = \left [ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right ]$ 。 $\because \left | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right | = 1 \neq 0 \ , \ \therefore \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关。 又 $\because (\alpha_1, \alpha_2) = 1 \neq 0, \ (\alpha_1, \alpha_3) = 1 \neq 0, \ (\alpha_2, \alpha_3) = 2 \neq 0$ ， $\therefore \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性无关无法推出 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 两两正交。 ## 向量组等价 ### 定义 设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_m$ 与 $\beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_n$ 是两个**维数相同**的向量组。若 $$ \left \{ \tag{I} \begin{array}{c} \alpha_1 = k_{11}\beta_1 + k_{12} \beta_2 + \cdots + k_{1n} \beta_n \\ \alpha_2 = k_{21}\beta_1 + k_{22} \beta_2 + \cdots + k_{2n} \beta_n \\ \vdots \\ \alpha_m = k_{m1}\beta_1 + k_{m2} \beta_2 + \cdots + k_{mn} \beta_n \end{array} \right . $$ 称向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_m$ 可由向量组 $\beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_n$ 线性表示。若 $$ \left \{ \tag{II} \begin{array}{c} \beta_1 = l_{11}\alpha_1 + l_{12} \alpha_2 + \cdots + l_{1m} \alpha_m \\ \beta_2 = l_{21}\alpha_1 + l_{22} \alpha_2 + \cdots + l_{2m} \alpha_m \\ \vdots \\ \beta_n = l_{n1}\alpha_1 + l_{n2} \alpha_2 + \cdots + l_{nm} \alpha_m \end{array} \right . $$ 称向量组 $\beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_n$ 可由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_m$ 线性表示。 若 $\text{(I), (II)}$ **都成立**，则称向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_m$ 与向量组 $\beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_n$ **等价**。 ## 极大线性无关组与向量组的秩 ### 定义 设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 为一组向量，若满足 1. 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 中存在 $r$ 个向量线性无关； 2. 任意 $r + 1$ 个向量 (不一定存在) 一定线性相关。 称 $r$ 个线性无关的向量为向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 的**极大线性无关组** (简称极大组) ，极大线性无关组中所含向量的个数称为**向量组的秩**。 > 可由其余向量线性表示的向量为向量组中的多余向量，求向量组的极大线性无关组本质上就是**去掉多余向量**的过程。 #### 矩阵的行秩和列秩 设 $A = \left [ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_m \end{matrix} \right ] = (\beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_n)$ ，其中 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_m$ 与 $\beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_n$ 分别为矩阵 $A$ 的**行向量组**与**列向量组**，向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_m$ 的秩称为矩阵 $A$ 的**行秩**，向量组 $\beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_n$ 的秩称为矩阵 $A$ 的**列秩**。 **Notes：** 1. 极大线性无关组**不一定唯一**。 如 $\alpha_1 = \left [ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right ] , \alpha_2 = \left [ \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} \right ] ,\alpha_3 = \left [ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right ]$ ，显然该向量的极大线性无关组由两组，即 $\alpha_1, \alpha_3$ 和 $\alpha_2, \alpha_3$ 。 2. 一个向量组与其的极大线性无关组**等价**。 证明：设 $\alpha_1, \alpha_2$ 为向量组 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_3$ 的极大线性无关组。 $\because \left \{ \begin{array}{c} \alpha_1 = 1\alpha_1 + 0\alpha_2 + 0\alpha_3 \\ \alpha_2 = 0\alpha_1 + 1\alpha_2 + 0\alpha_3 \end{array} \right .$ ，$\therefore \alpha_1, \alpha_2$ 可由 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_3$ 线性表示。 又 $\because \left \{ \begin{array}{c} \alpha_1 = 1\alpha_1 + 0\alpha_2 \\ \alpha_2 = 0\alpha_1 + 1\alpha_2 \\ \alpha_3 = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 \end{array} \right .$ ，$\therefore \alpha_1, \alpha_3, \alpha_3$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示。 $\therefore \alpha_1, \alpha_2$ 与 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_3$ 等价。 3. 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ **线性无关的充分必要条件**是 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 的**秩为 $n$** ；向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ **线性相关的充分必要条件**是 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 的**秩小于 $n$** 。(**重要定理**) 4. 令向量组 $A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n \ ; \ B:\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n, b$ ，则向量组 $A, B$ 的秩有两种情形： 1. 向量组 $A$ 的秩**等于**向量组 $B$ 的秩，其**充要条件**是 $b$ **可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性表示**。 2. 向量组 $A$ 的秩**比**向量组 $B$ 的秩**少 1** ，其**充要条件**是 $b$ **不可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性表示**。 5. 设 $A$ 为 $m \times n$ 阶矩阵， $B$ 为 $n \times s$ 阶矩阵，则 $$ AB = A(\beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_s) = (A\beta_1, A\beta_2, \cdots , A\beta_s) $$ ### 向量组秩的性质 1. 矩阵的秩，矩阵的行秩和矩阵的列秩**相等**。(**三秩相等**) 设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 为一个向量组，$A = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n)$ ，有 - $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性无关等价于 $r(A) = n$ ； - $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ 线性相关等价于 $r(A) < n$ 。 > 例题：设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，$\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2, \ \beta_2 = \alpha_2 + \alpha_3, \ \beta_3 = \alpha_3 + \alpha_1$ ，证明向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性无关。 证：令 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ ，可知 $r(A) = 3$ 。 令 $B = (\beta_1, \beta_2, \beta_3) = A \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right ]$ 。 $\because \left | \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right | = 2 \neq 0 \ , \ \therefore \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right ]$ 可逆。 $\therefore r(B) = r(A) = 3$ ，即 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性无关。 **三秩相等使用场景：** 1. 研究向量组的相关性，可以转换成矩阵的秩问题。 2. 已知矩阵，求其行向量或列向量的相关性。 > 例题：设 $A$ 为 $m \times n$ 阶非零矩阵，$B$ 为 $n \times s$ 阶非零矩阵，$AB = O$ 。问 $A, B$ 行列的相关性。 解：$\because A \neq O, \ B \neq O, \ \therefore r(A) \geq 1, \ r(B) \geq 1$ 。 $\because AB = O, \ \therefore r(A) + r(B) \leq n$ 。 $\therefore r(A) < n, \ r(B) < n$ ，即 $A$ 的列向量线性相关，$B$ 的行向量线性相关。 2. 设 $A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_m$ 与 $B: \beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_n$ 是两个**维数相同**的向量组，若向量组 $A$ 可由向量组 $B$ 线性表示，则向量组 $A$ 的秩**不超过**向量组 $B$ 的秩。 证明：令 $\left \{ \begin{array}{c} \alpha_1 = k_{11}\beta_1 + k_{12} \beta_2 + \cdots + k_{1n} \beta_n \\ \alpha_2 = k_{21}\beta_1 + k_{22} \beta_2 + \cdots + k_{2n} \beta_n \\ \vdots \\ \alpha_m = k_{m1}\beta_1 + k_{m2} \beta_2 + \cdots + k_{mn} \beta_n \end{array} \right .$ ，则有 $$ A = B \left [ \begin{matrix} k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1n} \\ k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{m1} & k_{m2} & \cdots & k_{mn} \\ \end{matrix} \right ] = BK $$ 而 $r(A) = r(BK) \leq r(B)$ ，即 $A$ 的秩不超过 $B$ 的秩。 > 例题：设 $A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_r$ 与 $B: \beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_s$ 是两个维数相同的向量组，$A$ 可由 $B$ 线性表示，且 $r > s$ 。证明：向量组 $A$ 线性相关。 证：$\because A$ 可由 $B$ 线性表示，$\therefore r(A) < r(B)$ 。 而 $r(B) \leq s$ ，且 $r > s$ ，$\therefore r(A) < r$ ，即 向量组 $A$ 线性相关。 3. 等价的向量组秩相等，反之不对。 证明： - 设向量组 $A, B$ 等价，则有 $r(A) \leq r(B), r(B) \leq r(A)$ ，即 $r(A = r(B))$ 。 - 设 $A: \alpha_1 = \left [ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right ], \alpha_2 = \left [ \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right ] \ ; \ B: \beta_1 = \left [ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right ], \beta_2 = \left [ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \\ -1 \end{matrix} \right ]$ ，有 $r(A) = 2, r(B) = 2$ 。 但显然 $A$ 不可由 $B$ 线性表示，$B$ 也不可由 $A$ 线性表示，即 $A, B$ 不等价。 最后修改：2024 年 10 月 29 日 © 允许规范转载 赞 如果觉得我的文章对你有用，请随意赞赏