Loading... ## 基本概念 $$ \begin{multline} \shoveleft \begin{aligned} \text{方程组} \end{aligned} \end{multline} \left \{ \begin{array}{c} \tag{I} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0 \end{array} \right . $$ 称为 $n$ 元**齐次线性方程组**的基本形式。 $$ \begin{multline} \shoveleft \begin{aligned} \text{方程组} \end{aligned} \end{multline} \left \{ \begin{array}{c} \tag{II} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_n \end{array} \right . $$ 称为 $n$ 元**非齐线性方程组**的基本形式。方程组 $\text{(I)}$ 又称为方程组 $\text{(II)}$ 对应的**齐次线性方程组**或**导出方程组**。 记 $A = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right ]$ ，$X = \left [ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right ]$ ，$b = \left [ \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{matrix} \right ]$ ，则方程组 $\text{(I)}, \text{(II)}$ 可改写为 $$ \begin{gather} AX = 0 && \tag{I'} \\ AX = b \tag{II'} \end{gather} $$ 方程组 $\text{(I')}$ 与方程组 $\text{(II')}$ 分别称为齐次线性方程组和非齐线性方程组的**矩阵形式**。 令 $\alpha_1 = \left [ \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{matrix} \right ] , \alpha_2 = \left [ \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{matrix} \right ] , \cdots , \alpha_1 = \left [ \begin{matrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{matrix} \right ], b = \left [ \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{matrix} \right ]$ ，则方程组 $\text{(I),(II)}$ 可以改写为 $$ \begin{gather} x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n = 0 \tag{I''\ } \\ x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n = b \tag{II''} \end{gather} $$ 方程组 $\text{(I'')}$ 和方程组 $\text{(II'')}$ 分别称为齐次线性方程组和非齐线性方程组的**向量形式**。 称 $\overline{A} = (A \vdots b) = \left [ \begin{array}{cccc:c} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & b \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} & b \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} & b \\ \end{array} \right ]$ 为方程组 $\text{(II')}$ 的**增广矩阵**。 ### 线性方程组解的结构 1. 设 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_s$ 为齐次线性方程组 $AX = 0$ 的一组解，则 $k_1\xi_1, k_2\xi_2, \cdots, k_s\xi_s$ 也是齐次线性方程组 $AX = 0$ 的一组解，其中 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ 为**任意常数**。 2. 设 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_s$ 为非齐线性方程组 $AX = b$ 的一组解，则 $k_1\eta_1, k_2\eta_2, \cdots, k_s\eta_s$ 为非齐线性方程组 $AX = b$ 的解的**充分必要**条件是 $k_1 + k_2 + \cdots + k_s = 1$ 。 3. 设 $\eta_0$ 为非齐线性方程组 $AX = b$ 的一个解，$\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_s$ 为齐次线性方程组 $AX = 0$ 的一组解，则 $k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_s\xi_s + \eta_0$ 为 $AX = b$ 的解，其中 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ 为**任意常数**。(非齐特解 + 齐通解 = 非齐通解) 4. 设 $\eta_1, \eta_2$ 为非齐线性方程组 $AX = b$ 的两个解，则 $\eta_2 - \eta_1$ 为齐次线性方程组 $AX = 0$ 的一个解。 5. 设 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_s$ 为非齐线性方程组 $AX = b$ 的一组解，则 $k_1\eta_1, k_2\eta_2, \cdots, k_s\eta_s$ 为齐次线性方程组 $AX = 0$ 的解的**充分必要**条件是 $k_1 + k_2 + \cdots + k_s = 0$ 。 ## 线性方程组解的基本定理 > 如无特殊说明，$A$ 默认指 $m$ 行 $n$ 列的矩阵。 **定理 1** ：设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，则 1. 齐次线性方程组 $AX = 0$ 只有零解的**充分必要**条件是 $r(A) = n$ 。 2. 齐次线性方程组 $AX = 0$ 有非零解 (或由无数个解) 的**充分必要**条件是 $r(A) < n$ 。 > 三秩相等 **推论 1** ：设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则 1. 齐次线性方程组 $AX = 0$ 只有零解的**充分必要**条件是 $|A| \neq 0$ 。 2. 齐次线性方程组 $AX = 0$ 有非零解 (或由无数个解) 的**充分必要**条件是 $|A| = 0$ 。 **推论 2** ：设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，且 $m < n$ ，则齐次线性方程组 $AX = 0$ 一定有非零解。(两边长上下短) **定理 2** ：设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，增广矩阵 $\overline{A} = (A \vdots b)$ ，则 1. 非齐线性方程组 $AX = b$ 有解的**充分必要**条件是 $r(A) = r(\overline{A})$ 。 其中当 $r(A) = r(\overline{A}) = n$ 时，非齐线性方程组 $AX = b$ 有**唯一解**；$r(A) = r(\overline{A}) < n$ 时，非齐线性方程组 $AX = b$ 有**无数个解**。 2. 非齐线性方程组 $AX = b$ 无解的**充分必要**条件是 $r(A) \neq r(\overline{A})$ 。 - 当 $r(A) \neq r(\overline{A})$ 时，$r(\overline{A}) = r(A) + 1$ 。 **推论** ：设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则 1. 非齐线性方程组 $AX = b$ 有解的**充分必要**条件是 $r(A) = r(\overline{A})$ 。 其中当 $|A| \neq 0$ 时，非齐线性方程组 $AX = b$ 有**唯一解**；$|A| = 0$ 时，非齐线性方程组 $AX = b$ 有**无数个解**。 2. 非齐线性方程组 $AX = b$ 无解的**充分必要**条件是 $r(A) \neq r(\overline{A})$ 。 **Notes：** 1. $AX = b$ 有唯一解可推出 $AX = 0$ 仅有零解，反之不对； $AX = b$ 有无数解可推出 $AX = 0$ 有非零解，反之不对。 - 证明：$AX = 0$ 仅有零解 $\Leftrightarrow r(A) = n, \ AX = b$ 有唯一解 $\Leftrightarrow r(A) = r(\overline{A}) = n$ 。 显然后者可以推出前者，而前者不能推出后者。 - 第二条的证明同上。 2. 当 $r(A) = m$ 时，非齐线性方程组 $AX = b$ 有解。 证明：$\because r(A) = m, \ \therefore r(\overline{A}) \geq r(A) = m$ 。 又 $\because \overline{A}$ 为 $m$ 行 $n + 1$ 列的矩阵，$\therefore r(\overline{A}) \leq m$ 。 $\therefore r(A) = r(\overline{A}) = m$ ，即非齐线性方程组 $AX = b$ 有解。 **定理 3** ：设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times s$ 矩阵，若 $AB = O$ ，则 $B$ 的**列向量组**为方程组 $AX = 0$ 的解。(**重要定理**) 证明：令 $B = (\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s)$ ，则 $AB = (A\beta_1, A\beta_2, \cdots, A\beta_s)$ 。 $\because AB = O, \ \therefore A\beta_1 = A\beta_2 = \cdots = A\beta_s = 0$ 。 即 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$ 为方程组 $AX = 0$ 的解。 ## 线性方程组的通解 ### 齐次线性方程组的基础解系与通解 **基础解系**：设 $r(A) = r < n$ ，则 $AX = 0$ 所有解构成的解向量组的**极大线性无关组**称为方程组 $AX = 0$ 的一个基础解系。当 $r(A) = r$ 时，$AX = 0$ 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为 $n - r$ 个。 设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，且 $r(A) = r < n$ ，$\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_s$ 为一个向量组。若 - $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_s$ 为齐次线性方程组 $AX = 0$ 的解； - $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_s$ 线性无关； - $s = n - r$ ； 则称 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_s$ 为齐次线性方程组 $AX = 0$ 的基础解系。 **通解**：设 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_s$ 为齐次线性方程组 $AX = 0$ 的一个基础解系，则称 $k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r}$ 为齐次线性方程组 $AX = 0$ 的通解，其中 $k_1, k_2, \cdots, k_{n-r}$ 为任意常数。 #### 基础解系的求法 求齐次线性方程组的基础解系时，把其系数矩阵通过初等行变换进行**阶梯化**，每行第一个非零元素所在的列对应的未知数是**约束变量**，其余为**自由变量**，从而可以确定基础解系。最好将每行第一个元素化为 1 (归一化) ，且其所在的列其余元素都化为 0 (排他性) 。 如：对齐次线性方程组 $AX = 0$ 的稀疏矩阵 $A$ 进行初等行变换，化为 $$ A \rightarrow \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right ] $$ 则 $r(A) = 3 < 5$ ，方程组 $AX = 0$ 的基础解系含有 $n - r = 2$ 个线性无关的解向量，其中 $x_1, x_2, x_3$ 为**约束变量**，$x_4, x_5$ 为**自由变量**。$(x_4, x_5)$ 分别取 $(1, 0)$ 和 $(0, 1)$ ，则基础解系为 $$ \xi_1 = (-2, 1, -3, 1, 0)^T, \quad \xi_2 = (3, -4, 2, 0, 1) $$ > 系数矩阵中对应项放到基础解系中记得**取反**。 ### 非齐线性方程组的通解 设 $r(A) = r(\overline{A}) = r < n$ ，且 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ 为 $AX = b$ 的导出方程组 $AX = 0$ 的一个基础解系，$\eta_0$ 为 $AX = b$ 的一个解，则 $AX = b$ 的通解为 $k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r} + \eta_0$ ，其中 $k_1, k_2, \cdots, k_{n-r}$ 为任意常数。 > 例题：判断非齐线性方程组 $\left \{ \begin{array}{c} x_1 + 2x_2 - 3x_3 + 5x_4 = 3 \\ 2x_1 + 3x_2 + x_3 - 3x_4 = -1 \\ 3x_1 + 5x_2 - 2x_3 + 2x_4 = 2 \end{array} \right .$ 是否有解。若有无穷多个解，求出其通解。 解： $$ \overline{A} = \left [ \begin{matrix} 1 & 2 & -3 & 5 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & -3 & -1 \\ 3 & 5 & -2 & 2 & 2 \end{matrix} \right ] \rightarrow \left [ \begin{matrix} 1 & 2 & -3 & 5 & 3 \\ 0 & -1 & 7 & -13 & -7 \\ 0 & -1 & 7 & -13 & -7 \end{matrix} \right ] \rightarrow \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 11 & -21 & -11 \\ 0 & 1 & -7 & 13 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right ] $$ $\because r(A) = r(\overline{A}) = 2 < 4, \ \therefore$ 原方程组有无穷多个解，通解为： $$ X = k_1 \left [ \begin{matrix} -11 \\ 7 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right ] + k_2 \left [ \begin{matrix} 21 \\ -13 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right ] + \left [ \begin{matrix} -11 \\ 7 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right ] \ (\text{其中} k_1, k_2 \text{为任意常数}) $$ ## 线性方程组的公共解 待补充。 最后修改：2024 年 09 月 14 日 © 允许规范转载 赞 如果觉得我的文章对你有用，请随意赞赏